2019届二轮复习合情推理与演绎推理学案（江苏专用）

专题十一　推理与证明

【真题典例】

11.1　合情推理与演绎推理

挖命题

【考情探究】

分析解读　　推理与证明在江苏高考中一般很少单独考查,常常和其他知识综合起来进行考查,但是演绎推理是解答题必需的过程,所以仍需要认真掌握.

破考点

【考点集训】

考点一　归纳推理

1.(2019届江苏海门实验中学检测)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=　　　　. 

答案　123

2.观察下列不等式:1+<,1++<,1+++<,照此规律,第五个不等式为　. 

答案　1+++++<

考点二　类比推理

1.(2019届江苏天一中学检测)设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论,写出下列条件下的结论:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球半径为R,四面体S-ABC的体积为V,则R=　　　　　　. 

答案　

2.(2019届江苏南京外国语学校检测)命题p:已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题q:已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的　　　　　　的垂线,垂足为M,则OM的长为定值. 

答案　内角平分线

考点三　演绎推理

　数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N*).证明:

(1)数列是等比数列;

(2)Sn+1=4an.

证明　(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,

所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.

所以=2·,又=1≠0,

故是以1为首项,2为公比的等比数列.

(2)由(1)可知=4·(n≥2),

所以Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1=4an(n≥2).

又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,

所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.

炼技法

【方法集训】

方法一　利用类比推理解题的方法

1.(2019届江苏南师大附中检测)记Sn是等差数列{an}前n项的和,Tn是等比数列{bn}前n项的积,设等差数列{an}公差d≠0,若对小于2 019的正整数n,都有Sn=S2 019-n成立,则推导出a1 010=0,设等比数列{bn}的公比q≠1,若对于小于23的正整数n,都有Tn=T23-n成立,则b12=　　　　. 

答案　1

2.(2019届江苏金陵中学检测)已知圆:x2+y2=r2上任意一点(x0,y0)处的切线方程为:x0x+y0y=r2,类比以上结论有:双曲线:-=1上任意一点(x0,y0)处的切线方程为　　　　. 

答案　-=1

方法二　利用归纳推理解题的方法

1.将正整数1,2,3,4,…按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数是　　　　. 

答案　91

2.(2019届江苏南通中学检测)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,……,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为　　　　. 

答案　80

3.某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,……,依此规律得到n级分形图.

(1)n级分形图中共有　　　　条线段; 

(2)n级分形图中所有线段长度之和为　　　　. 

答案　(1)3×2n-3　(2)9-9×

方法三　利用演绎推理解题的方法

　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.

(1)求证:a,b,c成等差数列.

(2)若C=,求证5a=3b.

证明　(1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B.

因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B.

由正弦定理,得a+c=2b,

即a,b,c成等差数列.

(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得

(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,

又b≠0,所以5a=3b.

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·江苏卷题组

　(2018江苏,14,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为数列{an}的前n项和,则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为　　　　. 

答案　27

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

考点一　合情推理

1.(2017课标全国Ⅱ文改编,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则以下四种说法正确的是　　　　. 

①乙可以知道四人的成绩;

②丁可以知道四人的成绩;

③乙、丁可以知道对方的成绩;

④乙、丁可以知道自己的成绩.

答案　④

2.(2017北京文,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:

(i)男学生人数多于女学生人数;

(ii)女学生人数多于教师人数;

(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　; 

②该小组人数的最小值为　　　　. 

答案　①6　②12

3.(2016山东,12,5分)观察下列等式:

+=×1×2;

+++=×2×3;

+++…+=×3×4;

+++…+=×4×5;

……

照此规律,

+++…+=　　　　. 

答案　

4.(2015陕西,16,5分)观察下列等式:

1-=,

1-+-=+,

1-+-+-=++,

……

据此规律,第n个等式可为　　　　　　　　　　　. 

答案　1-+-+…+-=++…+

考点二　演绎推理

1.(2017北京理,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是　　　　; 

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是　　　　. 

答案　①Q1　②p2

2.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是　　　　. 

答案　1和3

3.(2016北京理改编,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则乙盒中红球个数a与丙盒中黑球个数b的大小关系为　　　　. 

答案　a=b

C组　教师专用题组

1.(2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是　　　　　　. 

答案　F+V-E=2

2.(2013陕西,14,5分)观察下列等式:

12=1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

……

照此规律,第n个等式可为　　　　　　　　. 

答案　12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1·

3.(2014北京改编,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有　　人. 

答案　3

【三年模拟】

一、填空题(每小题5分,共50分)

1.(2019届江苏大桥实验中学检测)在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),猜想这个数列的通项公式是　　　　. 

答案　an=

2.(2019届江苏如东中学检测)由<,<,<,……猜想若m>0,则与之间的大小关系为　　　　. 

答案　>

3.(2019届江苏南通一中检测)观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=　　　　. 

答案　-g(x)

4.(2019届江苏海安中学检测)观察一列算式:1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1,…,则式子3⊗5是第　　　　项. 

答案　24

5.(2018江苏苏州中学检测)观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,……,用你所发现的规律得出22 018的末位数字是　　　　. 

答案　4

6.(2019届江苏南通检测)[x]表示不超过x的最大整数,例如:[π]=3.

S1=[]+[]+[]=3,

S2=[]+[]+[]+[]+[]=10,

S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21,

……

依此规律,那么S10=　　　　. 

答案　210

7.(2019届江苏姜堰中学检测)“求方程+=1的解”有如下解题思路:设f(x)=+,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路,方程x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集为　　　　. 

答案　{-1,2}

8.(2018江苏盐城中学检测)给出以下数对序列:

(1,1);

(1,2)(2,1);

(1,3)(2,2)(3,1);

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1);

…

记第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm=　　　　. 

答案　(m,n-m+1)

9.(2018江苏响水中学检测)对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=33=43=依此规律,若m3的“分裂”数中有一个是73,则m的值为　　　　. 

答案　9

10.(2018江苏淮阴中学检测)给出下面类比推理(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):

①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“a,c∈C,则a-c=0⇒a=c”;

②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di(i为虚数单位)⇒a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;

③“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;

④“若x∈R,则|x|<1⇒-1<x<1”类比推出“若z∈C,则|z|<1⇒-1<z<1”.

其中类比结论正确的个数为　　　　. 

答案　2

二、解答题(共20分)

11.(2019届江苏南通小海中学检测)平面内有n条直线(n=3,4,5,…),其中有且只有两条直线平行,任意三条直线不过同一点,记f(n)表示这n条直线的交点个数.

(1)求f(3), f(4), f(5);

(2)猜测f(n)的表达式.

解析　(1)f(3)=2, f(4)=5, f(5)=9.

(2)由(1)归纳可知, f(4)=f(3)+3,f(5)=f(4)+4=f(3)+3+4,

所以可以猜测f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)=(n=3,4,5,…).

12.(2019届江苏扬大附中检测)设同时满足条件:①≤bn+1(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列.

(1)若数列{an}为等差数列,Sn是其前n项和,a3=4,S3=18,求Sn;

(2)判断(1)中的数列{Sn}是不是“特界”数列,并说明理由.

解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,

则a1+2d=4,3a1+3d=18,

解得a1=8,d=-2,Sn=na1+d=-n2+9n.

(2)由-Sn+1=

===-1<0,得<Sn+1,

故数列{Sn}满足条件①.

Sn=-n2+9n=-+(n∈N*),

则当n=4或5时,Sn有最大值20,

即Sn≤20,故数列{Sn}满足条件②.

综上,数列{Sn}是“特界”数列.