2019届二轮复习推理与证明学案（全国通用）

【考情概览】

【应试策略】

1.用数归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　)

A. 1    B. 1＋2    C. 1＋2＋22    D. 1＋2＋22＋23

【答案】D

【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故选D.

【应试策略】

数归纳法证明等式的思路和注意点

(1)思路：用数归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数归纳法．

2.用数归纳法证明（， ）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（   ）

A. 假设时，命题成立    B. 假设（）时，命题成立   ]

C. 假设（）时，命题成立    D. 假设（）时，命题成立

【答案】C 

   ]

【应试策略】

数归纳法证明不等式的适用范围及关键     

(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数归纳法．

(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化

【真题展示】

一、选择题

1. 【2015高考浙江，理6】设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集，，，，（   ）

A. 命题①和命题②都成立       B. 命题①和命题②都不成立     

C. 命题①成立，命题②不成立   D. 命题①不成立，命题②成立 

【答案】A.

【考点定位】集合的性质

2.【2014年.浙江卷.理8】记，，设为平面向量，则（    ）

 A.

 B.

 C.

 D.

【答案】Ｄ

   ]

【考点】向量运算的几何意义.

3.【2009年.浙江卷.理10】对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有

．下列结论中正确的是 (    )

A．若，，则

B．若，，且，则

C．若，，则

D．若，，且，则

【答案】C

【解析】对于，即有，

令，有，不妨设，，

即有，因此有，因此有．

4.【2013年.浙江卷.文10】设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：

a∧b＝a∨b＝

若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)．

A．a∧b≥2，c∧d≤2      B．a∧b≥2，c∨d≥2

C．a∨b≥2，c∧d≤2      D．a∨b≥2，c∨d≥2

【答案】C

【解析】由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.

二、填空题

1.【2017年，浙江卷11】我国古代数家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值

计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一

千多

年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，        ．

【答案】 

【解析】试题分析：将正六边形分割为6个等边三角形，则．

【考点】数文化

【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所进行有目的的求解．

2.【2012年.浙江卷.理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝          ．

【答案】

3.【2010年.浙江卷.理14】设，

将的最小值记为，则

其中=                   .

【答案】

【解析】本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题

4.【2009年.浙江卷.理15】观察下列等式：

    ，

，

，

    ，

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于，          ．

【答案】

【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，

【对症下药】

一、类比、联想、归纳、猜想的思想

1.合清推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想的一种推理.这种推理的途径是从观察、实验入手，或通过类比而产生联想，或通过归纳而作出猜想.这就是说，合情推理的条件与结论之间是以联想作为桥梁.

2.归纳推理与类比推理的特点与区别：归纳推理与类比推理的结论都是一种猜想，未必可靠.归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理则是由特殊到特殊的推理.

3.欲提高类比所得结论的可靠性，应尽量满足下列条件：

(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能多些；

(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性；

(3)这些共同属性或相似属性应包括类比对象尽可能多的方面；

(4)需推测的未知属性应该和共同属性或相似属性属于同一类型.

满足上述条件的类比，其结论的可靠性虽可得到提高，但是仍然不能保证一定正确.

4.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑.否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，那就会犯机械类比的错误.

二、反证法

1习中应注意的问题

反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的一种证明方法.

反证法推证问题模式框图

2思维方法，解题技巧

下面几种情况，往往用反证法处理较容易.

(1)问题共有种情况，现要证其中一种情况成立，可想到用反证法证明，把其他的种情况都排除，从而确定这种情况成立.

(2)命题用否定形式叙述的.

(3)命题用“至少”的字样叙述的.

(4)命题成立非常明显，而是直接证明所用的理论太少.

三、数归纳法(理)   

1.数归纳法的实质：数归纳法是用来证明一类与正整数有关的数命题正确性的一种严格的推5里方法.它的形式是完全归纳法，而证明过程是通过演绎法实现的，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据.此外，用数归纳法证明问题时，在完成上面两个步骤后，还要写出一个总的结论.

2.为了进一步弄清第一步与第二步之间的关系，有必要把两步具体化，也就是说，是怎么通过这两步，完成命题的证明的，更具体地说，就是对于从起的所有正整数，是怎么个个都适合命题的.

一旦这两步完成，该第二步命题中包括的无穷多个特殊命题也顺次完成.其完成的全过程是：

从这个全过程的分析看出，第一个命题是第一步单独完成的，而第二个難命题的假设建立在第一个命题的基础上，以后各个特殊命题都顺次建立在前一个特殊命题的基础上，可见，这些特殊命题不是同时成立的，而是先后成立的，这就对“归纳假设部分”有更深刻的理解.

3.用数归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：

(1)明确首项取值，并验证真假.(必不可少)

(2)假设时命题正确，并写出命题形式.

(3)分析“”时命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项.

(4)明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.

【考题预测】

1.观察下列等式：

；

；

；

；

………

（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；

（2）用数归纳法证明（1）中的猜想.

【答案】（1） （）；（2）见解析.

试题解析：

（1）第个等式为 （）；

（2）用数归纳法证明：

①当时，等式显然成立；

②假设当（）时，等式成立，

即

则当时，

所以当时，等式成立.

由①②知， （）

2.观察下列等式：

； ； ； ；

，

…………

(1)猜想第个等式；

(2)用数归纳法证明你的猜想.

【答案】(1) .(2)答案见解析.

，

右边.

所以当时，等式也成立.

综上所述，等式对任意都成立.

3.已知数列中， ，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）猜想的表达式，并用数归纳法证明．

【答案】(I）；（II）见解析.

【解析】试题分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜想，注意数归纳法的步骤。

试题解析：(1）；                                                                                                

（2）猜想：                           

证明：①当n=1时， ，猜想成立.           

②假设n=k时成立，即，                

则当n=k+1时，由得

所以n=k+1时，等式成立.           

所以由①②知猜想成立.  

4.求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N ).

【答案】见解析

＋＋…＋＋＋＋

＝＋＋…＋＋(＋＋－)

＞＋(＋＋－)

＞＋(3×－)＝.

∴当n＝k＋1时不等式亦成立．

∴原不等式对一切n≥2，n∈N 均成立.      

5.已知数列中，满足记为前n项和．

（I）证明： ；

（Ⅱ）证明：

（Ⅲ）证明： .

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．

假设时， 成立，

那么当时， ，

所以综上所述，对任意，      …………………………………………6分

（Ⅱ）用数归纳法证明

当时， 成立

假设时，  

那么当时，