2019届二轮复习（理）专题63合情推理与演绎推理学案（全国通用）

1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．

2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

一、合情推理

(1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．

②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．

②特点：由特殊到特殊的推理． ]

(3)合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

二、演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

高频考点一　归纳推理  ]

例1、观察下列等式：

－2＋－2＝×1×2；

－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；   ]

…

照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝          .

答案　×n×(n＋1)

【变式探究】已知ai>0(i＝1,2,3，…，n)，观察下列不等式：

≥；

≥；

≥；

…

照此规律，当n∈N ，n≥2时，≥      .

答案　

解析　根据题意得≥(n∈N ，n≥2)．

【举一反三】观察下列等式：

1＋2＋3＋…＋n＝n (n＋1)；

1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；

1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；

…

可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝                    .

答案　n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N )

【变式探究】某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为(　　)

A．21  B．34  C．52  D．55

答案　D

解析　由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.   

【感悟提升】归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．

(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．

(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．

(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

【变式探究】(1)将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：

根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是(　　)

答案　A

解析　从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.

(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

答案　C

高频考点二　类比推理

例2、 (1)等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为(　　)

A.   B．q2

C.   D.

答案　C

解析　由题设，得Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝.

∴＝，∴等比数列{}的公比为，故选C.

(2)在平面上，设ha，hb，hc是△ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为                      ．

答案　＋＋＋＝1

【感悟提升】 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．

【变式探究】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C＋C＝C，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是            ．

1　1

1　2　1

1　3　3　1

1　4　6　4　1

1　5　10　10　5　1

…

C　C　…　C　…　C　C

图1

…

　　…　　…　　  + +k ]

图2

答案　＝＋

解析　类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C＋C＝C，

有＝＋.

高频考点三　演绎推理

例3、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn (n∈N )．证明：

(1)数列是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an.

【感悟提升】演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

【变式探究】 (1)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则(　　)

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

答案　D

解析　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.   

(2)已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．

【方法技巧】解决此类问题的注意事项与常用方法：

(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．

(2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．

【变式探究】 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

①b2 018是数列{an}的第        项；

②b2k－1＝        .(用k表示)

(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是        ．

①A＝N ，B＝N；

②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；

③A＝{x|0<x<1}，B＝R；

④A＝ ，B＝Q.

②由①知b2k－1＝   ]

＝.

(2)对于①，取f(x)＝x－1，x∈N ，

所以A＝N ，B＝N是“保序同构”的，故排除①；

对于②，取f(x)＝

所以A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}是“保序同构”的，故排除②；

对于③，取f(x)＝tan(0<x<1)，

所以A＝{x|0<x<1}，B＝R是“保序同构”的，故排除③.

④不符合，故填④.

答案　(1)①5 045　②　(2)④

1.(2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则(　　)

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

答案　D

1．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

答案　B

解析　取两个球往盒子中放有4种情况：

①红＋红，则乙盒中红球数加1；

②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；

③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；

④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.

因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.  

2. (2016·山东)观察下列等式：

－2＋－2＝×1×2；

－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；

…

照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝          .

答案　×n×(n＋1)