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2019届二轮复习10个二级结论高效解题学案（全国通用）
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10个二级结论高效解题
结论1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
【例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析 显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案 2
【训练1】 对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )
A.4和6 B.3和1
C.2和4 D.1和2
解析 令g(x)＝f(x)－c＝asin x＋bx，则g(x)是奇函数.又g(－1)＋g(1)＝f(－1)－c＋f(1)－c＝f(－1)＋f(1)－2c，而g(－1)＋g(1)＝0，c为整数，∴f(－1)＋f(1)＝2c为偶数.选项D中，1＋2＝3是奇数，不可能成立.
答案 D
结论2 抽象函数的周期性与对称性
1.函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
2.函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【例2】 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)(2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.
解析 (1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 017)＝－f(2 017)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.
又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.
(2)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以f(x)是R上的奇函数，
f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)
＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，
所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.
答案 (1)C (2)4
【训练2】 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A.－2 B.－1 C.0 D.1
解析 由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，
又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，
所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.
答案 D
结论3 两个经典不等式
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立.
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.
进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1).
【例3】 (2017·全国Ⅲ卷改编)已知函数f(x)＝x－1－aln x.
(1)若f(x)≥0，求a的值；
(2)证明：对于任意正整数n，…
①若a≤0，因为f＝－＋aln 2<0，所以不满足题意.
②若a>0，由f′(x)＝1－＝知，
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0；
所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，
故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点.
因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.
(2)证明 由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x>0.
令x＝1＋，得ln<.
从而ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝1－<1.
故…
解析 因为f(x)的定义域由
求得{x|x>－1，且x≠0}，所以排除选项C，D.
当x>0时，由经典不等式x>1＋ln x(x>0)，
以x＋1代替x，得x>ln(x＋1)(x>－1，且x≠0)，
所以ln(x＋1)－x<0(x>－1，且x≠0)，易知B正确.
答案 B
(2)已知函数f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点.
证明 令g(x)＝f(x)－＝ex－x2－x－1，x∈R，
则g′(x)＝ex－x－1，
由经典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0)＝0.
所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.
结论4 三点共线的充要条件
A，B，C三点共线，共线；向量，，中，A，B，C三点共线存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
【例4】 已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为( )
A.{－1} B. C.{0} D.{0，－1}
解析 ∵＝－，∴x2＋x＋－＝0，
即＝－x2＋(1－x)，∴－x2＋(1－x)＝1，
解得x＝0或x＝－1(x＝0舍去)，∴x＝－1.
答案 A
【训练4】 在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.
由已知易得AB＝AT，
∴＝＝λ＋μ，
∴＝λ＋μ，
∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝.
答案
结论5 三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⟺||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心⟺＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⟺·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心⟺a＋b＋c＝0.
【例5】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )
A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
解析 取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]
＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
答案 C
【训练5】 (1)P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析 (1)由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴P是△ABC的垂心.
(2)为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同.
＝＋λ，∴点P在上移动.
∴P的轨迹一定要通过△ABC的内心.
答案 (1)D (2)B
结论6 与等差数列相关的结论
(1)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
(2)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
【例6】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.
解析 (1)由am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.
又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，
显然可得am≠0，所以am＝2.
代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.
(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.
由已知条件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
答案 (1)10 (2)5
【训练6】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 ∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1，
由Sn＝na1＋d＝na1＋，
得
由①得a1＝，代入②可得m＝5.
答案 C
结论7 与等比数列相关的结论
(1)公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*).
(2)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇.
(3)已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn.则Sm＋n＝Sm＋qmSn(m，n∈N*).
【例7】 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A.2 B. C. D.3
解析 由已知＝3，得S6＝3S3，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，则(2S3)2＝S3(S9－3S3).化简得S9＝7S3，从而＝＝.
答案 B
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝，S6＝.
①求数列{an}的通项公式；
②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值.
解 ①由S3＝，S6＝，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝.
故通项公式an＝×2n－1＝2n－2.
②由(1)及题意可得log2an＝n－2，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝＝275.
【训练7】 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________.
解析 设等比数列{an}的公比q，易知S3≠0.
则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.
答案
结论8 多面体的外接球和内切球
(1)长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
(2)棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
【例8】 (1)(2018·安徽皖北协作区联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )
A.24π B.29π C.48π D.58π
(2)(2018·石家庄教学质量检测)四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A.6 B.5 C. D.
解析 (1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A－BCD)，其外接球即为长方体的外接球.
表面积为4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π.
(2)过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题意知，四棱锥P－ABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点.
设PH＝h，易知Rt△PMO∽Rt△PHF，
所以＝，即＝，解得h＝.
答案 (1)B (2)D
【训练8】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( )
A. B.2 C.4 D.3
(2)(2018·济南调研)已知球O的直径PA＝2r，B，C是该球面上的两点，且BC＝PB＝PC＝r，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为( )
A.64π B.32π C.16π D.8π
解析 (1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC－A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为＝.
(2)如图，连接OB，OC，则几何体O－BCP是棱长为r的正四面体，所以VO－BCP＝r3，于是VP－ABC＝2VO－BCP＝r3，令r3＝，得r＝4.从而S球＝4π×42＝64π.
答案 (1)A (2)A
结论9 圆锥曲线的切线问题
(1)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R2.
(2)若点M(x0，y0)在曲线±＝1(a>0，b>0)上，则过M的切线方程为±＝1.
(3)①抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是y0y＝p(x＋x0).
②过抛物线y2＝2px(p>0)外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y＝p(x＋x0).
【例9】 已知抛物线C：x2＝4y，直线l：x－y－2＝0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.
解 联立方程得消去y，
整理得x2－4x＋8＝0，
Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，
故直线l与抛物线C相离.
由结论知，P在抛物线外，故切点弦AB所在的直线方程为x0x＝2(y＋y0)，即y＝x0x－y0.
【训练9】 (1)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A.2x＋y－3＝0 B.2x－y－3＝0
C.4x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0
(2)设椭圆C：＋＝1，点P，则椭圆C在点P处的切线方程为________________.
解析 (1)如图，圆心坐标为
C(1，0)，易知A(1，1).
又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，∴kAB＝－2.
故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
(2)由于点P在椭圆＋＝1上，
故切线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
答案 (1)A (2)x＋2y－4＝0
结论10 过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦AB有：
(1)xA·xB＝.
(2)yA·yB＝－p2.
(3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
【例10】 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B. C.5 D.6
解析 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
答案 B
【训练10】 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
解析 法一 由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
法二 由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
答案 D
结论1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
【例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析 显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案 2
【训练1】 对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )
A.4和6 B.3和1
C.2和4 D.1和2
解析 令g(x)＝f(x)－c＝asin x＋bx，则g(x)是奇函数.又g(－1)＋g(1)＝f(－1)－c＋f(1)－c＝f(－1)＋f(1)－2c，而g(－1)＋g(1)＝0，c为整数，∴f(－1)＋f(1)＝2c为偶数.选项D中，1＋2＝3是奇数，不可能成立.
答案 D
结论2 抽象函数的周期性与对称性
1.函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
2.函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【例2】 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)(2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.
解析 (1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 017)＝－f(2 017)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.
又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.
(2)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以f(x)是R上的奇函数，
f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)
＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，
所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.
答案 (1)C (2)4
【训练2】 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A.－2 B.－1 C.0 D.1
解析 由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，
又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，
所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.
答案 D
结论3 两个经典不等式
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立.
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.
进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1).
【例3】 (2017·全国Ⅲ卷改编)已知函数f(x)＝x－1－aln x.
(1)若f(x)≥0，求a的值；
(2)证明：对于任意正整数n，…
①若a≤0，因为f＝－＋aln 2<0，所以不满足题意.
②若a>0，由f′(x)＝1－＝知，
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0；
所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，
故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点.
因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.
(2)证明 由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x>0.
令x＝1＋，得ln<.
从而ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝1－<1.
故…
解析 因为f(x)的定义域由
求得{x|x>－1，且x≠0}，所以排除选项C，D.
当x>0时，由经典不等式x>1＋ln x(x>0)，
以x＋1代替x，得x>ln(x＋1)(x>－1，且x≠0)，
所以ln(x＋1)－x<0(x>－1，且x≠0)，易知B正确.
答案 B
(2)已知函数f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点.
证明 令g(x)＝f(x)－＝ex－x2－x－1，x∈R，
则g′(x)＝ex－x－1，
由经典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0)＝0.
所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.
结论4 三点共线的充要条件
A，B，C三点共线，共线；向量，，中，A，B，C三点共线存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
【例4】 已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为( )
A.{－1} B. C.{0} D.{0，－1}
解析 ∵＝－，∴x2＋x＋－＝0，
即＝－x2＋(1－x)，∴－x2＋(1－x)＝1，
解得x＝0或x＝－1(x＝0舍去)，∴x＝－1.
答案 A
【训练4】 在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.
由已知易得AB＝AT，
∴＝＝λ＋μ，
∴＝λ＋μ，
∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝.
答案
结论5 三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⟺||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心⟺＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⟺·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心⟺a＋b＋c＝0.
【例5】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )
A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
解析 取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]
＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
答案 C
【训练5】 (1)P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析 (1)由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴P是△ABC的垂心.
(2)为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同.
＝＋λ，∴点P在上移动.
∴P的轨迹一定要通过△ABC的内心.
答案 (1)D (2)B
结论6 与等差数列相关的结论
(1)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
(2)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
【例6】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.
解析 (1)由am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.
又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，
显然可得am≠0，所以am＝2.
代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.
(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.
由已知条件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
答案 (1)10 (2)5
【训练6】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 ∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1，
由Sn＝na1＋d＝na1＋，
得
由①得a1＝，代入②可得m＝5.
答案 C
结论7 与等比数列相关的结论
(1)公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*).
(2)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇.
(3)已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn.则Sm＋n＝Sm＋qmSn(m，n∈N*).
【例7】 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A.2 B. C. D.3
解析 由已知＝3，得S6＝3S3，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，则(2S3)2＝S3(S9－3S3).化简得S9＝7S3，从而＝＝.
答案 B
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝，S6＝.
①求数列{an}的通项公式；
②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值.
解 ①由S3＝，S6＝，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝.
故通项公式an＝×2n－1＝2n－2.
②由(1)及题意可得log2an＝n－2，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝＝275.
【训练7】 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________.
解析 设等比数列{an}的公比q，易知S3≠0.
则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.
答案
结论8 多面体的外接球和内切球
(1)长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
(2)棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
【例8】 (1)(2018·安徽皖北协作区联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )
A.24π B.29π C.48π D.58π
(2)(2018·石家庄教学质量检测)四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A.6 B.5 C. D.
解析 (1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A－BCD)，其外接球即为长方体的外接球.
表面积为4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π.
(2)过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题意知，四棱锥P－ABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点.
设PH＝h，易知Rt△PMO∽Rt△PHF，
所以＝，即＝，解得h＝.
答案 (1)B (2)D
【训练8】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( )
A. B.2 C.4 D.3
(2)(2018·济南调研)已知球O的直径PA＝2r，B，C是该球面上的两点，且BC＝PB＝PC＝r，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为( )
A.64π B.32π C.16π D.8π
解析 (1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC－A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为＝.
(2)如图，连接OB，OC，则几何体O－BCP是棱长为r的正四面体，所以VO－BCP＝r3，于是VP－ABC＝2VO－BCP＝r3，令r3＝，得r＝4.从而S球＝4π×42＝64π.
答案 (1)A (2)A
结论9 圆锥曲线的切线问题
(1)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R2.
(2)若点M(x0，y0)在曲线±＝1(a>0，b>0)上，则过M的切线方程为±＝1.
(3)①抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是y0y＝p(x＋x0).
②过抛物线y2＝2px(p>0)外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y＝p(x＋x0).
【例9】 已知抛物线C：x2＝4y，直线l：x－y－2＝0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.
解 联立方程得消去y，
整理得x2－4x＋8＝0，
Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，
故直线l与抛物线C相离.
由结论知，P在抛物线外，故切点弦AB所在的直线方程为x0x＝2(y＋y0)，即y＝x0x－y0.
【训练9】 (1)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A.2x＋y－3＝0 B.2x－y－3＝0
C.4x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0
(2)设椭圆C：＋＝1，点P，则椭圆C在点P处的切线方程为________________.
解析 (1)如图，圆心坐标为
C(1，0)，易知A(1，1).
又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，∴kAB＝－2.
故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
(2)由于点P在椭圆＋＝1上，
故切线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
答案 (1)A (2)x＋2y－4＝0
结论10 过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦AB有：
(1)xA·xB＝.
(2)yA·yB＝－p2.
(3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
【例10】 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B. C.5 D.6
解析 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
答案 B
【训练10】 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
解析 法一 由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
法二 由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
答案 D
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