2019届二轮复习函数问题的解题规律学案（全国通用）

专题02  函数问题的解题规律

一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项

1.定义域陷阱. 

2.抽象函数的隐含条件陷阱

3.定义域和值域为全体实数陷阱

4.还原后新参数范围陷阱

5.参数范围漏解陷阱

6.函数求和中的倒序求和问题

7.分段函数问题

8.函数的解析式求法

9.恒成立问题求参数范围问题

10.任意存在问题

二．知识点

【学习目标】

1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；

3．了解简单的分段函数，并能简单应用；

4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．

【知识要点】

1．函数的概念

设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x) x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x) x∈A}⊆B.

2．映射的概念

设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射．

3．函数的特点

①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；

②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；

③关键是对应法则．

4．函数的表示法

函数的表示法：图示法、解析法．

5．判断两个函数为同一个函数的方法

两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．

6．分段函数

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．

注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．

三．典例分析及变式训练

（一）定义域陷阱

例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（    ）

A．     B．         C．     D．

【答案】A

【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.

【解析】在上为减函数，

，且在上恒成立，

，，

又在上有最大值，且在上单调递增，

在上单调递减，且，

，解得，

综上所述，，故选A.

【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.学 

练习1. 【湖北2019重点中学联考】 若y=f（x）的定义域为（0，2 ，则函数g（x）=的定义域是（　　）

A． （0，1     B． [0，1）    C． （0，1）∪（1，4     D． （0，1）

【答案】D

【点评】本题考查了抽象函数的定义域与应用问题，是基础题．

（二）抽象函数的隐含条件陷阱

例1. 【2019福建联考】已知定义在上的函数满足:，若, 则

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（8）=15，

令x=y=4，可得f（8）=2f（4）+1=7，

解得f（4）=3，

再令x=y=2，可得f（4）=2f（2）+1=3，

解得f（2）=1．

故选：D．

【点评】本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查运算能力，属于基础题．

练习1.设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，都有，则＝（    ）

A． 0    B． 2018    C． 2 017    D． 1

【答案】B

【解析】令,利用 ,求出,再利用，令,求的解析式，从而可得结果. 学    

【详解】，

令，得，

，

令，又，

，

，故选B.

【点评】本题主要考查抽象函数的解析式，属于中档题. 解抽象函数的解析式问题，往往利用特值法：（1）；（2）；（3）.

（三）定义域和值域为全体实数陷阱

例3．【山东省师大附中2019第二次模拟考】函数的值域为，则实数的范围（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分段函数的值域为R，则函数y=f（x）在R上连续且单调递增，列出关于a的不等式组即可求解a的值.

【详解】因为函数的值域为

所以

解得：

故选C

【点评】本题考查了分段函数的单调性，其题干描述较为隐蔽，需要通过分析其值域为R得到该函数在R上是增函数，然后根据分段函数的单调性条件求解出a的范围.

练习1.已知函数y＝f（x）的定义域是R，值域为[-1，2 ，则值域也为[-1，2 的函数是

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】根据的值域为[-1，2 ，即，即可求出，以及的范围，从而找出正确选项．

【详解】的定义域为，值域为，即；
∴A．，即的值域为，∴该选项错误；

B．，即的值域为，∴该选项正确；

 C．，即的值域为，∴该选项错误；

 D．，即的值域为，∴该选项错误．故选：B．

【点评】本题主要考查抽象函数的定义域、值域的求法，一般情况下：

(1)对于复合函数f [g(x) 而说,如果函数f(x)的定义域为A,则f [g(x) 的定义域是使得函数g(x)∈A的x取值范围.

(2)如果f [g(x) 的定义域为A,则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.

练习2.函数的定义域为,函数的定义域为，则 （    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，及集合的并集运算，其中解答中正确求解两个函数的定义域，再根据集合的并集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

（四）还原后新参数范围陷阱

例4．【江苏2019联考】已知函数，若存在实数，当时，，则的最小值是（   ）.

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】作出分段函数的图像，结合图像确定的范围及等量关系，再将所求式子转化为关于的函数，利用函数的单调性求解最小值.

【详解】如图：

， 即,

令 ,

则

当 时取得最小值 .

故选C

【点评】本题主要考查分段函数图像、函数零点、函数最小值的应用，解题中主要应用了数形结合的思想、换元思想、函数思想，属于中档题；解题的关键有两个：一是准确作出分段函数图像，利用已知条件确定出范围以及；二是将所求式子转化为关于的函数，利用函数的性质求最小值.

（五）参数范围漏解陷阱

例5．【山东2019联考】已知函数，若且满足，则的取值范围是（     ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】根据题意画出图像，并得到,,将三个变量均转化为一个变量c， 令对函数求导得到函数的单调性进而得到最值.

【详解】

画出的图象，由且得：,,.

,

令，则，，，，

则函数在区间上单调递增，，即 ，的取值范围是（以为变量时，注意的取值范围为）.

故答案为：D.

【点评】这个题目考查了到了导数在求函数最值中的应用，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.

练习1．已知函数，若，则实数的取值范围是

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】通过讨论和时，的解集即可求得.

【详解】,当时，,解得,.

当时,,解得. 学  

综上可得.选C.

【点睛】

分段函数分段求解，最后结果注意取并集.注意分类讨论思想的运用.

（六）函数求和中的倒序求和问题

例6. 【吉林省长春市实验中学2019届高三数学试题】设是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，当时， .

(1)当时，求的解析式；（2）计算.

【答案】（1） （2）0

【解析】（1）根据函数周期性的定义即可证明f（x）是周期函数,再根据函数奇偶性和周期性的关系即可求出当x∈[2，4 时f（x）的解析式.

（2）根据函数的周期性先计算一个周期内的函数值之和，即可计算的值．

【详解】（1）将中的用代换得，又

得，将用替换得所以周期为4，

由得函数的对称中心是，此函数是奇函数，在的解析式为，向右移4个单位得

（2），，，，由周期是4知=

练习1.已知函数，则（     ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】∵函数，

∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）

=1009×f（﹣1）+1008×f（0）

=1009×2﹣1+1008×20

=．学 =

故答案为：D.

练习2．已知函数则__________．

【答案】1008

【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.

详解：函数，

则，

故答案为：1008.

点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.

（七）分段函数问题

例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．

【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得

.

故选B.

【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．

练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（　 　）

A． ﹣1    B． ﹣2    C． 6    D． 7

【答案】A

【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.

【详解】依题意得，，所以，故选.

【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.

练习2．已知 ,那么等于(   )

A． 2    B． 3    C． 4    D． 5

【答案】A

【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.

【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,

由分段函数第一段解析式，

，故选A.

【点睛】

本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.

（八）函数的解析式求法

例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.

（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x) =9x＋8，求此一次函数的解析式

【答案】（1） ； （2）.

【解析】（1）利用换元法即可求解；

（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.

【详解】（1） 设

(x≠0且x≠1)

（2）设f(x)=ax＋b，则

f[f(x) =af(x)＋b

=a(ax＋b)＋b

=a2x＋ab＋b

=9x＋8

或

所以函数的解析式为.

【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.

练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;

(2) 判断函数的奇偶性.

【答案】（1） ； （2）见解析.

【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.

（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.

练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．

（1）求f（0）的值；

（2）求f（x）的解析式；

（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．

【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）

【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．

【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，

令x=﹣1，y=1，可得，

又，

∴．

（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，

令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）

又，

∴．

（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．

由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．

设，

则在上单调递减，

∴，

∴．

∴．

【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．

（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．

练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（   ）

A. （A）    B. （B）    C. （C）    D. （D）

【答案】B

【解析】当0＜x≤1时，y=x2，

当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，

CD=x，则AD=2-x，

∵Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴△ADM为等腰直角三角形，

∴DM=2-x，

∴EM=x-（2-x）=2x-2，

∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，

∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，

∴y=．

故选B．

练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（  　）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，

故选D.

（九）恒成立问题求参数范围问题

例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围

【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上

则函数在上单调递减，在上单调递增

，当且仅当处取得最小值

由值域可知，

故

在上函数单调递增，在处取得最大值

故，

解得

综上所述，

故选

【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。

练习1.若对恒成立，且存在，使得成立，则的取值范围为__________．      . 

【答案】

【解析】利用方程思想得到，利用单调性明确函数的最大值即可.

【详解】，

以代入得，

消去得，

若，则单调递增，，

则.学 =

故答案为：

【点睛】本题考查了方程思想求函数的解析式，考查了不等式能成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题.

（十）任意存在问题

例10.已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】根据条件列不等式，解不等式得结果.

【详解】因为函数在上存在最小值，所以，选A.

【点睛】本题考查分段函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

练习1.若函数在上有意义，则实数的取值范围是______ ．

【答案】.

【解析】使用换元令t=2x，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at2进行求解．

【详解】设t=2x，因为x∈（﹣∞，2 ，所以0＜t≤4．

则原函数有意义等价于1+t+at2≥0，所以a≥﹣．

设f（t）=﹣，则f（t）=﹣=﹣（+）2+，

因为0＜t≤4，所以∈[，+∞），所以f（t）≤f（）=，

所以a≥．

故答案为：．

【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．

练习2．已知．

（1）求的值域． 学     

（2）若对任意和都成立，求的取值范围．

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）利用换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t的取值范围求得函数的值域。

（2）根据恒成立条件，得到关于m的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于a的函数表达式，进而求得m的取值范围。

（2）

即

恒成立

令,

图象为线段，

则

解得.

【点评】本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用，注意换元后的取值范围，属于中档题。