2019届二轮复习第11讲　空间直线与平面的证明与计算学案（全国通用）

第11讲　空间直线与平面的证明与计算

专 题 探 究　【p40】
【命题趋势】
1．从近几年高考来看，本节内容主要考查的是线线平行(或垂直)、线面平行(或垂直)与面面平行(或垂直)的判定与性质．
2．从题型来看，有选择题和填空题，难度不大，解答题多以几何体为载体，难度稍大．
3．从能力角度来看，主要考查学生的推理论证能力，从数学思想来看，则主要考查转化与化归思想．
4．预计在今年高考中，对直线、平面平行、垂直的判定和性质的考查分为两个方面：客观题结合线、面平行、垂直考查平行、垂直的判定和性质，分值在5分左右；解答题以特定的几何体为载体综合考查线、面平行(或垂直)的判定和性质，难度稍大，分值在12分左右．
【备考建议】
复习本节内容时，关键要注意以下几点：
1．直线与平面平行(或垂直)的判定定理是判断线面平行(或垂直)的主要依据之一，通过直线与直线的平行(或垂直)得到直线与平面的平行(或垂直)，体现了立体几何的转化与化归思想，这一点同样在平面与平面的平行(或垂直)的判定定理中．
2．直线与平面平行的性质定理与平面与平面平行的性质定理其实质是两条直线平行的判定定理，性质定理与判定定理的结合运用是解决平行问题的关键．
3．证明垂直关系通常从现有直线中寻找垂直关系，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，注重转化思想．
4．空间中的垂直关系是重点考查的内容，在线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化中，线面垂直是核心．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

典 例 剖 析　【p40】
探究一　直线、平面平行的判定和
性质与空间角的求法
例1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．

(1)求证：A1B∥平面ADC1；
(2)试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．
【解析】(1)证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.
由ABC－A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又D为BC的中点，
所以OD为△A1BC的中位线，
所以A1B∥OD.
因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.
(2)解：由ABC－A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°，得BA，BC，BB1两两垂直．
以BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.
设BA＝2，
假设存在满足条件的点E.
因为点E在线段A1B1上，A1(0，2，1)，B1(0，0，1)，
故可设E(0，λ，1)，其中0≤λ≤2.
所以＝(0，λ－2，1)，＝(1，0，1)．
因为AE与DC1成60°角，
所以|cos〈，〉|＝＝，
即＝，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．
所以当点E为线段A1B1的中点时，直线AE与DC1成60°角．
【点评】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．
例2 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC＝，点M是PC的中点．

(1)求证： PA∥平面MBD；
(2)若点F在PA上，且满足＝，求直线DM与平面FBD所成角的正弦值．
【解析】(1)连AC交BD于点E，连ME.
∵四边形ABCD是矩形，∴点E是AC的中点．
又点M是PC的中点，∴PA∥ME，
又PA⊄平面MBD，EM⊂平面MBD，所以PA∥平面MBD.

(2)取AD的中点O，则PO⊥AD，又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，故PO⊥平面ABCD，连接OC，在Rt△POC中，OC＝＝，所以在Rt△ODC中，DC＝＝3，以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A，B，D，C，P，M.设F(x0，y0，z0)，则由＝得(x0－1，y0，z0)＝(－1，0，)，
即F.
设平面FBD的法向量m＝(x，y，z)，
则得
令x＝3，y＝－2，则z＝－5，
故m＝(3，－2，－5)，又＝，
设直线DM与平面FBD所成角为θ，
则sin θ＝＝＝＝，故直线DM与平面FBD所成角的正弦值为.
例3 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，EB＝EC，EA⊥AB，FC⊥平面ABCD.
(1)求证：EA∥FC；
(2)若AB＝FC＝2，当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求二面角A－DE－B的余弦值．

【解析】(1)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则AB＝AC. 取BC中点M，连接EM，AM，则AM⊥BC，又EB＝EC，则EM⊥BC，而AM∩EM＝M，所以BC⊥平面AEM.
从而BC⊥AE，又EA⊥AB，AB∩BC＝B，
所以EA⊥平面ABCD，又FC⊥平面ABCD，
所以EA∥FC.
(2)以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于EA的直线为z轴建立空间直角坐标系．

则O(0，0，0)，B(0，，0)，D(0，－，0)，F(－1，0，3)．设AE＝a(a>0)，则E(1，0，a)，
∴＝(－1，0，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，，－a)．
设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得n＝(－a，0，1)，
∴cos〈n，〉＝＝，
∵直线FO与平面BED所成角的大小为45°，
∴＝，
解得a＝2或a＝－(舍)，∴AE＝2.
故平面BDE的一个法向量为n＝(－2，0，1)，又A(1，0，0)，M，所以平面ADE的一个法向量为＝，则cos〈，n〉＝＝，
故二面角A－DE－B的余弦值为.
【点评】本题主要考查了空间平行判定与性质、二面角的计算、空间想象能力和推理论证能力，考查学生综合应用知识的能力和应变能力，属综合题．其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对于第一问不能熟练运用线线平行、线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，进而不能正确处理线面平行的问题；其二是对于第二问不能正确运用空间向量求二面角的大小，其关键是正确地求出各面的法向量．
探究二　直线、平面垂直的判定和性质与
空间角的求法
例4如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB＝AE.

(1)求证：平面DEF⊥平面BDF；
(2)若点H在线段BF上，且BF＝3HF，求直线CH与平面DEF所成角的正弦值．
【解析】(1) 证明：∵ABCD为正方形，∴AO⊥BD，∵四边形OAEF为矩形，∴AO⊥FO，EF∥AO，∴EF⊥BD，EF⊥FO，又∵BD∩FO＝O，∴EF⊥平面BDF，又EF⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面BDF.

(2)∵平面OAEF⊥平面ABCD，平面OAEF∩平面ABCD＝OA，又FO⊥AO，∴FO⊥平面ABCD.∴FO⊥AO，FO⊥BO，以O为原点，OA，OB，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AB＝AE＝2，则O(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，0，0)，D(0，－，0)，E(，0，2)，F(0，0，2)．
∴＝(，，2)，＝(0，，2)，＝(0，－，2)，
∵BF＝3HF，∴BH＝2HF＝BF，
∴＝＋＝(，，0)＋(0，－，2)，
∴＝.
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，由即
令z＝1，得n＝(0，－，1)，
由cos〈，n〉＝＝＝，
得直线CH与平面DEF所成角的正弦值即为|cos〈，n〉|＝.
【点评】立体几何是高中数学中的传统而典型的内容之一，也是高考重点考查的考点和热点．这类问题的设置一般有两类：其一是线面位置关系的判定；其二是有关几何体的体积、面积以及角度距离的求解与计算等问题．求解第一类问题时，要充分借助和运用线面位置关系的判定定理或性质定理进行分析推证；解答第二类问题时，通常是先建立空间直角坐标系，再运用向量的有关知识及数量积公式建立方程进行探求从而使得问题获解．
例5如图，在多面体ABCDEFG中，ABCD为正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥BG∥DE，且AB＝AF＝BG＝DE，H为EG中点．

(1)求证：BD⊥CH；
(2)求二面角F－CE－G的余弦值．
【解析】(1)如图，连接AC交BD于点M，连接MH.
∵AF∥BG∥DE，BG＝DE，AF⊥平面ABCD，
∴四边形BDEG为矩形，
又∵H为EG中点，
∴MH∥BG∥AF，MH＝BG，
又∵AF⊥平面ABCD，∴MH⊥平面ABCD，
∴MH⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，且AC∩MH＝M，
∴BD⊥平面CMH，
又CH⊂平面CMH，∴BD⊥CH.

(2)由题意，以D为坐标原点，以DA，DC，DE分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)且设AB＝AF＝BG＝DE＝1，则E(0，0，1)，F(1，0，1)，G(1，1，1)，C(0，1，0)，＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，＝(1，1，0)．
设n1＝(x1，y1，z1)为平面FCE的一个法向量，则由得取y1＝1，得n1＝(0，1，1)．设n2＝(x2，y2，z2)为平面GCE的一个法向量，则由得取y2＝1，得n2＝(－1，1，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝，∴二面角F－CE－G的余弦值为.

【点评】1.在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若图中没有明确给出这样的直线，则可通过作辅助线来解决．在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
2．线面垂直、面面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以以直线和平面、平面和平面的交角为90°来讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直出发进行推理和论证．
探究三　折叠问题与探究性问题
例6如图，四棱锥V－ABCD的底面是直角梯形，VA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，VA＝AD＝CD＝BC＝a，点E是棱VA上不同于A，V的点．

(1)求证：无论点E在VA如何移动都有AB⊥CE；
(2)设二面角A－BE－D的大小为α，直线VC与平面ABCD所成的角为β，试确定点E的位置使tan αtan β＝.
【解析】(1)证明：连接AC，在直角梯形ABCD中，AC＝a，AB＝a，BC＝2a，
所以BC2＝AC2＋AB2，所以AB⊥AC，
又因为VA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥AV,
而AV∩AC＝A，所以AB⊥平面VAC，CE⊂平面VAC，所以AB⊥CE.
(2)取BC中点F，以点A为坐标原点，AF，AD，AV所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，不妨设AE＝λAV(0