2019届二轮复习第31练　几何证明选讲、不等式选讲学案（全国通用）

第31练　几何证明选讲、不等式选讲

[明晰考情]　1.命题角度： 三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理； 圆内接四边形的性质与判定；含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用.2.题目难度：中档难度.

考点一　三角形相似的判定及应用

方法技巧　证明三角形相似可以结合圆的某些性质、定理，要注意等量的代换.

1.(2016·江苏)如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD.

证明　在△ADB和△ABC中，

因为∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠A为公共角，

所以△ADB∽△ABC，

所以∠ABD＝∠C.

在Rt△BDC中，因为E是斜边BC的中点，

所以ED＝EC，从而∠EDC＝∠C，

所以∠EDC＝∠ABD.

2.(2017·江苏)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.

(1)求证：∠PAC＝∠CAB；

(2)求证：AC2＝AP·AB.

证明　(1)因为PC切半圆O于点C，

所以∠PCA＝∠CBA.

因为AB为半圆O的直径，

所以∠ACB＝90°.

因为AP⊥PC，所以∠APC＝90°，

因此∠PAC＝∠CAB.

(2)由(1)知，△APC∽△ACB，

故＝，

即AC2＝AP·AB.

3.(2018·苏州模拟)如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.求证：PF2＝PD·PE.

证明　连结PB，PC，因为∠PCF，∠PBD分别为圆弧BP上的圆周角和弦切角，

所以∠PCF＝∠PBD.

因为PD⊥BD，PF⊥FC，

所以△PDB∽△PFC，

故＝.

同理，∠PBF＝∠PCE，又PE⊥EC，PF⊥FB，

所以△PFB∽△PEC，故＝，

所以＝，即PF2＝PD·PE.

4.如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE·CD＝BD·CE.

证明　因为AB是⊙O的切线，

所以∠ABD＝∠AEB.

又因为∠BAD＝∠EAB，所以△BAD∽△EAB，

所以＝.

同理，＝.

因为AB，AC是⊙O的切线，

所以AB＝AC.

因此＝，

即BE·CD＝BD·CE.

考点二　圆有关定理、性质的应用

方法技巧　和圆有关的计算证明问题，要灵活运用圆和三角形的性质，以目标为导向，根据需要找角、线段长度的关系，适时进行等量代换.

5.(2018·江苏)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C.若PC＝2，求BC的长.

证明　如图，连结OC.

因为PC与圆O相切，

所以OC⊥PC.

又因为PC＝2，OC＝2，

所以OP＝＝4.

又因为OB＝2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，

所以BC＝2.

6.(2018·南京模拟)如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC，求证：CA＝3CB.

证明　如图，连结OD，因为DA＝DC，

所以∠DAO＝∠C.

在圆O中，AO＝DO，

所以∠DAO＝∠ADO，

所以∠DOC＝2∠DAO＝2∠C.

因为CD为圆O的切线，

所以∠ODC＝90°，

从而∠DOC＋∠C＝90°，

即2∠C＋∠C＝90°，

故∠C＝30°，

所以OC＝2OD＝2OB，

所以CB＝OB，所以CA＝3CB.

7.(2018·苏州模拟)如图，圆O的直径AB＝4，C为圆周上一点，BC＝2，过C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，AD分别与直线l和圆O交于点D，E，求线段AE的长.

解　在Rt△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，

所以∠ABC＝60°.

因为l为过点C的切线，

所以∠DCA＝∠ABC＝60°.

因为AD⊥DC，所以∠DAC＝30°.

连结OE，在△AOE中，

因为∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，

所以AE＝AO＝AB＝2.

8.如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.

(1)证明：∠CBD＝∠DBA；

(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径.

(1)证明　因为DE为⊙O的直径，

所以∠BED＋∠EDB＝90°，

又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，

从而∠CBD＝∠BED.

又AB切⊙O于点B，所以∠DBA＝∠BED，

所以∠CBD＝∠DBA，

(2)解　由(1)知BD平分∠CBA，则＝＝3，

又BC＝，从而AB＝3.

所以AC＝＝4，所以AD＝3.

由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，

故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.

考点三　不等式的证明

方法技巧　证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明.

9.已知m，n是正数，证明：＋≥m2＋n2.

证明　∵＋－m2－n2＝＋＝＝，

又m，n均为正数，

∴＋－m2－n2＝≥0，

∴＋≥m2＋n2.

10.设a，b，c均为正数，abc＝1.求证：＋＋≥＋＋.

证明　由a，b，c为正数，根据算术—几何平均不等式，

得＋≥，＋≥，＋≥ .

将此三式相加，得2≥＋＋，

即＋＋≥＋＋.

由abc＝1，则有＝1.

所以＋＋≥＋＋＝＋＋，

当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立.

11.已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.

求证：≥8.

证明　要证≥8成立，

只需证··≥8成立.

∵a＋b＋c＝1，

∴只需证··≥8成立，即··≥8，又a，b，c>0，

∴只需证··

≥··≥8成立，而··≥8显然成立，

∴≥8成立.

12.已知a，b，c都是实数，求证：

a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.

证明　∵a，b，c∈R，

∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.

将以上三个不等式相加，得

2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，                          ①

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.                           ②

在不等式①的左右两端同时加上a2＋b2＋c2，得

3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，

即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.              ③

在不等式②的左右两端同时加上2(ab＋bc＋ca)，得

(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，

即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.             ④

由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.

考点四 　柯西不等式

方法技巧　利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不等式有相似的结构.

13.(2017·江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.

证明　由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，

因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，

所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.

14.(2018·盐城模拟)已知正数x，y，z满足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值.

解　由柯西不等式，可得(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2，

因为x＋2y＋3z＝2，

所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立，

所以x2＋y2＋z2的最小值为.

15.已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.

证明　因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，

所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.

由柯西不等式知(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，

当且仅当＝，即b＝2a时等号成立.

即5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0，

解得－≤c≤1.

所以－≤c≤1.

16.(2018·苏州模拟)已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，若|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c成立，求实数x的取值范围.

解　因为a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，

由柯西不等式得(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)(1＋1＋1)＝3，

当且仅当＝＝＝±时等号成立.

因为|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，所以|x－1|＋|x＋1|≥3.

当x<－1时，－2x≥3，解得x≤－；

当－1≤x≤1时，2≥3不成立；

当x>1时，2x≥3，解得x≥.

综上，实数x的取值范围为∪.

1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D.已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长.

解　∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，

∴D为BC的中点，

∵BC＝4，AD＝6，

∴AB＝AC＝2，cos C＝，

由AC·CE＝CD·CB，得CE＝，AE＝，

∵DE2＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos C＝4，∴DE＝2.

∴四边形ABDE的周长l＝4＋.

2.(2018·南京、盐城模拟)如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D，若DE＝4，求切点E到直径AB的距离.

解　如图，过点E作EF⊥AB交AB于点F，连结AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，因为AD⊥DE交DE于点D，所以AD∥OE，所以∠DAE＝∠OEA.                            ①

在⊙O中，OE＝OA，所以∠OEA＝∠OAE.          ②

由①②得∠DAE＝∠OAE，即∠DAE＝∠FAE，

又∠ADE＝∠AFE，AE＝AE，

所以△ADE≌△AFE，所以DE＝FE，

又DE＝4，所以FE＝4，

即点E到直径AB的距离为4.

3.已知x，y，x均为正数，求证：＋＋≥＋＋.

证明　∵x，y，z都是正数，

∴＋＝≥.

同理可得＋≥，＋≥.

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

得＋＋≥＋＋(当且仅当x＝y＝z时，等号成立).

4.(2108·江苏七市联考)已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝5，求证：a2＋2b2＋c2≥10.

证明　由柯西不等式得[a2＋(b)2＋c2]·≥(a＋b＋c)2，

因为a＋b＋c＝5，所以(a2＋2b2＋c2)·≥25.

所以a2＋2b2＋c2≥10，

当且仅当a＝2b＝c>0时取等号.