2019届二轮复习第4讲　算法与推理证明学案（全国通用）

第4讲　算法与推理证明

　【p19】

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备 考 建 议　【p19】

本部分内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现，属容易题或中档题．对于程序框图要掌握基本算法语句尤其是含循环结构的程序框图，往往与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起考查，读题审题要仔细．对合情推理的考查重点是考查归纳推理和类比推理，往往以数表、数阵、图形等为背景与数列、通项、求和、周期性等数学知识相结合考查，所以平常要多加训练、总结，提升观察探究、归纳和概括能力．

典 例 剖 析　【p19】

探究一　算法初步

例1(1)执行如下图所示的程序框图，输出s的值为(　　)

A．1  B.  C.  D.

【解析】选D.

第一次循环，n＝1，s＝；第二次循环，n＝2，s＝＋，直至n＝1 008，s＝＋＋…＋，结束循环，输出

s＝＋＋…＋

＝－＋－＋…＋－

＝－＋－＋…＋－

＝1－＝，选D.

(2)已知实数x∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

【解析】选B.

设实数x∈[1，9]，

经过第1次循环得到x＝2x＋1，n＝2，

第2次循环得到x＝2(2x＋1)＋1，n＝3；

第3次循环得到x＝2[2(2x＋1)＋1]＋1，n＝4，

此时输出x的值，输出的值为8x＋7，令8x＋7≥55，

解得x≥6，由几何概型得到输出的x不小于55的概率为＝，故选B.

探究二　逻辑推理

例2 (1) 宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也．”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原，关于“格物致知”的做法，就是“今日格一件，明日又格一件，积习既多，然后脱然自有贯通处．”上述推理用的是(　　)

A．类比推理  B．演绎推理

C．归纳推理  D．以上都不对

【解析】选C.

今天研究一件，明天又研究一件，将事物的规律一个一个找出来，归纳推理出“贯通处”．故为归纳推理．

(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为(1，3]．若将其中的条件“|PF1|＝2|PF2|”更换为“|PF1|＝k|PF2|，k>0且k≠1”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是________．

【解析】

若|PF1|＝2|PF2|，

则双曲线离心率的取值范围为(1，3]，

区间前端点为1，后端点为3＝＝.

若将其中的条件“|PF1|＝2|PF2|”

更换为“|PF1|＝k|PF2|，k>0且k≠1”，经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是.

例3 (1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B是椭圆上不同的两个点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P.证明：－<x0<；

(2)对于双曲线－＝1(a>0，b>0)写出类似的结论．

【解析】(1) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由P(x0，0)在线段AB的垂直平分线上，

得(x1－x0)2＋y12＝(x2－x0)2＋y22.

由A，B两点在椭圆上，得y12＝b2－x12，y22＝b2－x22，

(x1－x0)2－(x2－x0)2＝y22－y12＝(x12－x22)，

(x1－x2)(x1＋x2－2x0)＝(x1－x2)(x1＋x2)，

∵x1≠x2，

∴2x0＝(x1＋x2)·＝(x1＋x2).

∵－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，又x1≠x2，∴－2a<x1＋x2<2a，

∴－<x0<.

(2)A，B是双曲线上不同的两个点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)，则|x0|>(x0>或x0<－)．

规 律 总 结　【p20】

1．解答程序框图问题的关键点：

(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在如累加求和、累乘求积 、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．

(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．

(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．特别要注意输出循环次数的情况，防止多一次或少一次的错误．

2．合情推理的解题思路：

(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．

(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．

(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．

高 考 回 眸　【p20】

考题1[2017·全国卷Ⅰ] 下图的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)

A．A>1 000和n＝n＋1

B．A>1 000和n＝n＋2

C．A≤1 000和n＝n＋1

D．A≤1 000和n＝n＋2

【解析】选D.

判断框“”中应填入A≤1 000，由于是求最小偶数，故处理框“”中应填入n＝n＋2.选D.

【命题意图】本题考查了循环结构的程序框图，考查学生的逻辑推理能力．

考题2[2017·全国卷Ⅱ] 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

【解析】选D.

由于甲不知道自己的成绩，故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好，所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩，乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩．故选D.

【命题意图】本题考查了推理的知识，解答时注意通过画图、列表等方法解决．

考点限时训练　【p116】

A组　基础演练

1．执行如图所示的程序框图，如果输出s＝4，那么判断框内应填入的条件是(　　)

A．k≤14?  B．k≤15?

C．k≤16?  D．k≤17?

【解析】选B.

执行如图所示的程序框图，第一次循环，k＝2，s＝log23；第二次循环，k＝3，s＝log24＝2；第三次循环，k＝4，s＝log25；第四次循环，k＝5，s＝log26；…；第十四次循环，k＝15，s＝log216＝4；此时结束循环，判断框内应填入的条件只能是k≤15？，故选B.

2．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表.

丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：

甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”

乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．”

甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”

根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是(　　)

A．4排8号  B．3排1号 

C．1排4号  D．1排5号

【解析】选B.

甲不能确定故排除2排4号，甲肯定乙一定不能确定，所以丙拿到的排数必然不是乙能直接确定的4排2号所在的排数，故排除4排；然后乙说那么他能确定了，由于5号对应两个位置，而4号，1号，8号对应的位置唯一确定，所以必是三个中的一个；甲思考乙既然能确定，必然是上述三个，根据最后甲也确定，1排有两个可以，而3排唯一，所以是3排1号．

3．给出命题：若a、b是正常数，且a≠b，(x，y)∈(0，＋∞)，则＋≥(当且仅当＝时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数f(x)＝＋的最小值及取最小值时的x值分别为(　　)

A．11＋6，

B．11＋6，

C．25，

D．25，

【解析】选D.

本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得f(x)＝＋＝＋≥＝25，当且仅当＝即x＝时等号成立，故选D.

4．给出30个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这30个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可分别填入(　　)

A．i≤30？和p＝p＋i－1

B．i≤31？和p＝p＋i＋1

C．i≤31？和p＝p＋i

D．i≤30？和p＝p＋i

【解析】选D.

由题意，本题求30个数的和，

故在判断框中应填“i≤30？”，由于②处是要计算下一个加数，由规律知应填“p＝p＋i”，故选D.

5．下图的程序框图是把k进制数a(共有n位数)化为十进制数b的程序框图，在该框图中若输入a＝2 134，k＝5，n＝4，则输出b的值为(　　)

A．290  B．294

C．266  D．274

【解析】选B.

由题意得，模拟执行程序框图，可得程序框图的功能．当输入a＝2 134，k＝5，n＝4时，计算并输出b＝4×50＋3×51＋1×52＋2×53＝294，故选B.

6．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为ai，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于(　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】选C.

根据三棱锥的体积公式V＝Sh得： S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，

即S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝3V，

∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.

*7.“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c(a>b>c且a，b，c∈N*)，选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是

A．甲  B．乙

C．丙  D．乙和丙都有可能

【解析】选B.

总分为5(a＋b＋c)＝22＋9＋9＝40，所以a＋b＋c＝8，只有两种可能5>2>1或4>3>1.显然4>3>1不符，因为即使五个第一名也不够22分．所以a＝5，b＝2，c＝1.所以由题可知，甲其余四个选项都是第一名，马术第二名，记2分，总共22分．

由于丙马术第三名，记1分，所以其余四项均第二名，记2分，共9分．

乙马术第一名，记5分，其余四项均第三名，记1分，共9分．所以选B.

B组　能力提升

8．执行如图所示的程序框图，若输出的y值满足y≤，则输入的x值的取值范围是____________．

【解析】∪.

由程序框图可知对应的函数为y＝

当x≤0时，y＝2x，

令y≤，即2x≤，

解得x≤－1；

当x>0时，y＝log2x，

令y≤，

即log2x≤，

解得0<x≤，

综上所述，

输入的x值的取值范围是(－∞，－1]∪(0，]．

9．执行右图所示流程框图，若输入x＝10，则输出y的值为____________．

【解析】－

当x＝10时，y＝4，＝6>1，此时x＝4；

当x＝4时，y＝1，＝3>1，此时x＝1；

当x＝1时，y＝－，＝>1，此时x＝－；

当x＝－时，y＝－，＝<1；故此时输出y＝－.

10．运行如图的程序框图，若输出的y随着输入的x的增大而减小，则a的取值范围是____________．

【解析】

由程序框图可知，当x<2时，输出y＝(a－2)x；当x≥2时，输出y＝－1.因为，输出的y随着输入的x的增大而减小，即输出的分段函数y＝为减函数，所以a－2<0且(a－2)×2≥－1，解得≤a<2，故答案为.

*11.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图．若记图乙中第n行白圈的个数为an，则an＝__________．

【解析】

根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)，第四行的白圈数为2×5＋4＝14；黑圈数为5＋2×4＝13，∴第四行的“坐标”为(14，13)；第五行的“坐标”为(41，40)，各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1＋1，3＋1，9＋1，27＋1，81＋1，∴可以归纳出第n行的白圈数为an＝.