2019届二轮复习　算法初步、推理与证明学案（全国通用）

2019届二轮复习 　算法初步、推理与证明  学案（全国通用）

命 题 者 说

考向一  程序框图

【例1】　(1)(2018·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(　　)

A．1　　　　B．2  C．3　　　　D．4

(2)(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1   B．i＝i＋2

C．i＝i＋3   D．i＝i＋4

解析　(1)N＝20，i＝2，T＝0，＝＝10，是整数；T＝0＋1＝1，i＝2＋1＝3,3<5，＝，不是整数；i＝3＋1＝4,4<5，＝＝5，是整数；T＝1＋1＝2，i＝4＋1＝5，结束循环。输出的T＝2。故选B。

(2)由S＝1－＋－＋…＋－得程序框图N先对奇数项累加，T再对偶数项累加，最后相减S＝N－T。因此在空白框中应填入i＝i＋2。故选B。

答案　(1)B　(2)B

程序框图的解题策略

(1)要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体。

(2)要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化。

(3)要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么 时候终止循环体。

变|式|训|练

1．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值的秦九韶算法，即将f(x)改写成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值。这种算法至今仍是比较先进的算法。将秦九韶算法用程序框图表示，如图所示，则在空白的执行框内应填入(　　)

A．v＝vx＋ai   B．v＝v(x＋ai)

C．v＝aix＋v   D．v＝ai(x＋v)

解析　秦九韶算法的过程是(k＝1,2，…，n)，这个过程用循环结构来实现，应在题图中的空白执行框内填入v＝vx＋ai。故选A。

答案　A

2．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为________。

解析　执行如题干图所示的程序框图，过程如下：k＝3，n＝1，S＝1，满足条件2S<kn，执行循环体，n＝2，S＝，满足条件2S<kn，执行循环体，n＝3，S＝，满足条件2S<kn，执行循环体，n＝4，S＝，满足条件2S<kn，执行循环体，n＝5，S＝，不满足条件2S<kn，终止循环，输出S的值为。

答案　

考向二  推理与证明

微考向1：归纳推理

【例2】　(2018·惠州二调)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法。我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：

依次类推，则六十四卦中的“屯卦”，符号为“”，其表示的十进制数是(　　)

A．33   B．34

C．36   D．35

解析　由题意类推，可知六十四卦中的“屯卦”的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34。故选B。

答案　B

归纳推理思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用。其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想。

变|式|训|练

缺8数是一个非常神奇的数，观察以下等式：

12 345 679×9＝111 111 111

12 345 679×18＝222 222 222

12 345 679×27＝333 333 333

12 345 679×36＝444 444 444

…

则第8个等式为________。

解析　由分析知，当乘数为9＝9×1时，结果为9位数，各个数位上的数字均是1；当乘数为18＝9×2时，结果为9位数，各个数位上的数字均是2，归纳推理易得结果。

答案　12 345 679×72＝888 888 888

微考向2：类比推理

【例3】　我们知道：“平面中到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”。拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A(－1,0,0)，B(1,0,0)，则点集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹描述正确的是(　　)

A．以A，B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面

B．以A，B为焦点的椭球体

C．以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面

D．以上都不对

解析　由特殊到特殊进行类比推理可得：点集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹描述正确的是以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面。故选C。

答案　C

类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起。当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比。

变|式|训|练

已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a>1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论>a成立。运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有________成立。

解析　运用类比思想与数形结合思想，可知y＝sinx(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上的点的纵坐标，即<sin成立。

答案　<sin

微考向3：演绎推理

【例4】　(2018·潍坊统考)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳、…、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录。2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的(　　)

A．己亥年  B．戊戌年

C．庚子年  D．辛丑年

解析　由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年。故选C。

答案　C

演绎推理就是依照已知的定义、定理、公理推导我们所要的结论，它是一种从一般到特殊的推理。

变|式|训|练

某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：

①若去A镇，也必须去B镇；

②D，E两镇至少去一镇；

③B，C两镇只去一镇；

④C，D两镇都去或者都不去；

⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去。

则该参观团至多去了(　　)

A．B，D两镇   B．A，B两镇

C．C，D两镇   D．A，C两镇

解析　若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇。故选C。

答案　C

1．(考向一)(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　运行程序框图，k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×＝，k＝2；s＝＋(－1)2×＝，k＝3；满足条件，跳出循环，输出的s＝。故选B。

答案　B

2．(考向二)使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第2 017位之前(不含第2 017位)，共有________个“○”。

解析　记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k组共有2k个图形，故前k组共有2×1＋2×2＋2×3＋…＋2k＝2×(1＋2＋3＋…＋k)＝k(k＋1)个图形，因为44×45＝1 980<2 016<45×46＝2 070，所以在这2 016个图形中有45个“□”，1 971个“○”。

答案　1 971

3．(考向二)学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说“C或D作品获得一等奖”；乙说“B作品获得一等奖”；丙说“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说“C作品获得一等奖”。

评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________。

解析　若A为一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意；若B获得一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意；若C获得一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意；若D获得一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，所以若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B。

答案　B

4．(考向二)祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子。他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异。”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。设由椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________。

解析　椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2＝πb2a。

答案　πb2a

5．(考向二)(2018·孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个。若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是(　　)

A．甲  B．乙

C．丙  D．丁

解析　若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意。故猜对者是丙。故选C。

答案　C