2019届二轮复习第九章第8节　曲线与方程学案（全国通用）

第8节　曲线与方程
最新考纲　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

知 识 梳 理
1.曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤

[常用结论与微点提醒]
1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.
2.曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(　　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　　)
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.(　　)
解析　对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.
答案　C
3.(2018·广州调研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.一条直线和一条射线
解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
答案　D
4.已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是(　　)
A.(x＋2)2＋y2＝4(y≠0) B.(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C.(x－2)2＋y2＝4(y≠0) D.(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故选C.
答案　C
5.过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是 .
解析　设MN的中点为P(x，y)，
则点M(x，2y)在椭圆上，∴＋＝1，
即＋＝1(a>b>0).
答案　＋＝1(a>b>0)

考点一　直接法求轨迹方程
【例1】 (1)(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为 .
(2)(2018·大同模拟)与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为 .
解析　(1)设A(x，y)，由题意可知D.又∵|CD|＝3，∴＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0).
(2)若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为|x|，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以＝|x|＋3，则y2＝12x(x>0)，
若动圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0).
答案　(1)(x－10)2＋y2＝36(y≠0)　(2)y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)
规律方法　直接法求曲线方程的关键点和注意点
(1)关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程，要注意翻译的等价性，通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略.
(2)注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.
【训练1】 (2018·聊城模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是 .
解析　设C(x，y)，则由＝＋t(－)得－＝t(－)，所以＝t，即(x－1，y)＝t(1，2)，故消去t得y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
答案　2x－y－2＝0
考点二　相关点(代入)法求轨迹方程
【例2】 (1)(2017·银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是 .
(2)(2018·武威模拟)设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为 .
解析　(1)设中点的坐标为(x，y)，则圆上的动点A的坐标为(2x－3，2y)，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，即x2＋y2－3x＋2＝0.
(2)设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，
∴x0＋y＝0，
由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴即
∴－x＋＝0，即y2＝4x，
故点N的轨迹方程为y2＝4x.
答案　(1)x2＋y2－3x＋2＝0　(2)y2＝4x
规律方法　“相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.
【训练2】 已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0) D.x2＋＝1(y≠0)
解析　依题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)，
G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得
即代入＋＝1，
得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0).
答案　C
考点三　定义法求轨迹方程(典例迁移)
【例3】 (经典母题)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2).
【迁移探究1】 将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为 .
解析　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2，所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2).
答案　y＝0(x<－2)
【迁移探究2】 把本例中圆M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆N的方程换为：(x－3)2＋y2＝1，则圆心P的轨迹方程为 .
解析　由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x>1).
答案　x2－＝1(x>1)
【迁移探究3】 在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，则圆心P的轨迹方程为 .
解析　由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.
答案　y2＝4x
规律方法　定义法求曲线方程的两种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解.
【训练3】 △ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 .
解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，
|AB|＝10.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为6的双曲线的右支，
方程为－＝1(x>3).
答案　－＝1(x>3)

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·长沙月考)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)
A.任意实数a方程表示椭圆
B.存在实数a方程表示椭圆
C.任意实数a方程表示双曲线
D.存在实数a方程表示抛物线
解析　当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.
答案　B
2.若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析　以线段MN的中点为原点(0，0)，以MN所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则M(－3，0)，N(3，0).
设P(x，y)，则·＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－9＝0，即x2＋y2＝9，则P点的轨迹是以(0，0)为圆心，以3为半径的圆.
答案　A
3.已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是(　　)
A.y2＝2x B.y2＝8x2
C.y＝4x2－ D.y＝4x2＋
解析　设AP的中点坐标为(x，y)，则P(2x，2y＋1)，由点P在曲线上，得2·(2x)2－(2y＋1)＝0，即y＝4x2－.
答案　C
4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)
A.y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2
解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0).连接MA，PM，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又因为|PA|＝1，
所以|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，
所以(x－1)2＋y2＝2.
答案　D
5.(2018·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析　∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.
∴a＝，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴M的轨迹方程为＋＝1.
答案　D
二、填空题
6.已知点O(0，0)，A(1，2)，动点P满足|＋|＝2，则点P的轨迹方程为 .
解析　设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－1，y－2)，＋＝(2x－1，2y－2)，所以(2x－1)2＋(2y－2)2＝4，整理可得4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0.
答案　4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0
7.直线＋＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是 .
解析　设直线＋＝1与x，y轴的交点分别为A(a，0)，B(0，2－a)，AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，因为a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1.
答案　x＋y＝1(x≠0，x≠1)
8.在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为 .
解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|.
∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，
∴轨迹方程为－＝1(x＞).
答案　－＝1(x＞)
三、解答题
9.如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1 解　由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)，
由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3).①
直线A2B的方程为y＝(x－3).②
由①②得y2＝(x2－9).③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0).
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0).
10.(2018·广州模拟)已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点.
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.
解　(1)连接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2－x＋y2＝4.
(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中＝1.
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，
故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·葫芦岛调研)在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足＋＋＝0，||＝||＝||，∥，则顶点C的轨迹为(　　)
A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)
B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)
D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
解析　设C(x，y)(y≠0)，则由＋＋＝0，
即G为△ABC的重心，得G.
又||＝||＝||，
即M为△ABC的外心，
所以点M在y轴上，
又∥，则有M.
所以x2＋＝4＋，
化简得＋＝1，y≠0.
所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).
答案　B
12.如图，P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是 .
解析　由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2.
设Q(x，y)，则＝－＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.
答案　＋＝1
13.(2018·安庆模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示.

(1)求点C的轨迹M的方程；
(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.
(1)解　依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，
由⇒x2－2pkx－p2＝0⇒x1·x2＝－p2.
易知直线OA：y＝x＝x，直线BC：x＝x2，
由得y＝＝－，
即点C的轨迹M的方程为y＝－.
(2)证明　由题意知直线n的斜率存在.
设直线n的方程为y＝k1x＋m，
由⇒x2－2pk1x－2pm＝0⇒Δ＝4p2k＋8pm.
∵直线n与抛物线相切，
∴Δ＝0⇒pk＋2m＝0，
可得P(pk1，－m).
又由⇒Q，
∵F，·＝·
＝－－mp＋pm＋＝0，
∴FP⊥FQ，
∴以PQ为直径的圆过点F.