2019届二轮复习几何体的三视图学案（全国通用）

                                            -----------精讲深剖

几何体的三视图及表面积和体积问题为高考的高频考点，主要考查空间几何体三视图的识别判断，由三视图求空间几何体的表面积和体积等问题. 在高考中主要的题型主要是选择题或者填空题，基本上都是中等难度或者较易的试题. 因此，掌握各种空间几何体的结构特征，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法；注重对生直观想象，数运算和数建模等核心的培养。

近3年全国卷几何体的三视图及表面积和体积问题试题统计表

【2018 全国卷Ⅰ第7题】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为  科@#网

A．      B．      C．3      D．2

【答案】B

【解题反思】本题容易由三视图想象出对应的几何体，问题转化为求圆柱上两点间的最短距离，可通过侧面展开图，运用两点之间线段最短来解决；问题体现了直观想象、数运算的核心素养及创新能力。

1.（必修2第29页习题1.3 B组1）如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积

（尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果分别精确到1cm²，1cm³，可用计算器）。

【解析】由三视图画出奖杯的草图如图可知，

[来源:科网]

S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=4×12+202×25+12×12+20×20=（1285+544），

V四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×20×2=23544+434．

表面积是表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小．所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积．应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积：

∴奖杯的表面积S=S球+S四棱柱+S四棱台-2×S四棱柱底面=16π+544+1285+544-2×（4×8）=16π+1024+1285≈1360，

奖杯的体积V=V球+V四棱柱+V四棱台=323π+640+23434+544≈1052．

【解题反思】本题考察了三视图及空间几何体的表面积与体积，题中几何体由常见几何体组合而成，可采用分解与组合的思想，化为基本几何体体积和表面积的和来计算。注意算表面积时，几何体接触部分需减去。体现了生直观想象及数运算的核心素养。

[来源:+科+网Z+X+X+K]

一、知识梳理：

1．简单几何体

(1)多面体的结构特征

(2)旋转体的结构特征

2．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

3．三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．

(2)作、看三视图的3原则

①位置原则：[来源:Zxxk.Com]

②度量原则：长对正、高平齐、宽相等(即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽)．

③虚实原则：轮廓线——现则实、隐则虚．

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

5.柱、锥、台和球的表面积和体积

[来源:科网]

二、解题指南：

1.画三视图的三个原则：

(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”.

(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.

(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.

2.求解几何体表面积与体积的基本思路：

（1）.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

（2）.求体积的两种方法：(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.

考点1、空间几何体与三视图的相互识别

例1.（1） 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　　)

【答案】C

【解析】如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形．

(2) 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)

A.三棱锥  　　 B.三棱柱                 C.四棱锥  　　    D.四棱柱

【答案】B

【解析】由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.

(3)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是(　　)

【答案】A

解题反思：识别三视图的步骤

(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；[来源:Z§xx§k.Com]

(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；

(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．

(4)根据几何体的三视图判断几何体的结构特征，常见的有以下几类

考点2、三视图与空间几何体的表面积

例2. (1)个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________。

【答案】38

 (2)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为      ；

【答案】(4＋4)π＋96

【解析】由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积S＝6×42＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96.  @#科网

（3）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π,则r＝（  ）

A.              B.             C.            D.

【答案】B

解题反思：1．三类几何体表面积的求法

2．避免两类失误

(1)因对几何体的结构特征认识不准，混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误．一定要熟记三视图中的数据反应的是空间几何体的长、宽、高，而不一定是空间几何体的棱长．

(2)在审视组合体的图形时，图形结构特征审视不准致误．(如几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，求表面积时，应去掉两几何体的接触面)

考点3、三视图与空间几何体的体积

例3.（1）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（  ）

A．                 B．                    C．         D．

【答案】D

(2)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(　　)

A.＋π   B.＋π C.＋π   D.1＋π[来源:Zxxk.Com]

【答案】C

(3) 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

【答案】

【解析】由正视图知三棱锥的形状如图所示，

且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，[来源:Zxxk.Com]

结合正视图可知AO⊥平面BCD.又OC＝＝1，∴V三棱锥A­BCD＝××1＝.

（4）．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 cm，粗线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为

________．

【答案】4 cm3

【解析】由三视图知几何体是一个以俯视图中的直角梯形为底面，高h＝2 cm的四棱锥．由三视图中的数据得四棱锥的底面面积S＝×(2＋4)×2＝6(cm2)，所以其体积V＝Sh＝×6×2＝4(cm3)．

解题反思：

1.三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.

2．处理体积问题的思路

3．求体积的常用方法

1.如图，在正方体中， 为的中点，则在该正方体各个面上的正投影可能是（   ）

A． ①②              B． ①④             C． ②③         D． ②④

【答案】B

2.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)

【答案】C

3.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（   ）

A. 1                  B. 2                C. 3                 D. 4

【答案】C

共三个，故选C.

4.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： ）为（   ）

A.         B.     C.     D.

【答案】D

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A.＋1   B.

C.＋1   D.＋1

【答案】C  ￥%科网

【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为π＋1＋2π×2＋π

＝＋1，故选C

6.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（   ）

A.               B.           C.      D.

【答案】A

7．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF­BCE的体积为V2，则＝(　　)

A.                 B.                       C.                 D.

【答案】B

【解析】由三视图可知多面体ADF­BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.∵M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，∴点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，距离为a，∴V1＝VE­FMC＝VM­EFC＝·a·a·a＝，又V2＝a·a·a＝，故＝＝.

8．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为         

【答案】72＋6π　　

9．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3，则侧视图中线段的长度x的值是         

【答案】4　

【解析】分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P­ABCD，

故其体积V＝××4×CP＝3，∴CP＝，∴x＝＝4.

[来源:_科_网]