2019届二轮复习立体几何与三视图学案（全国通用）

第十二讲  立体几何

一、知识方法拓展

1.空间向量的应用

1)求异面直线夹角：设分别为异面直线的方向向量，则直线的夹角满足

2)求直线和平面夹角：设分别为直线的方向向量和平面的法向量，则直线和平面的夹角满足

3)求二面角的平面角：设分别为平面的法向量，则平面的夹角满足

4)求点到平面的距离：设为平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离

5)求异面直线的距离：设是异面直线的公垂向量(待定系数法)，点在直线上，点在直线上，则异面直线的距离

2.三面角公式

如右图，两平面相交于，均在上，射线在平面内，射线在平面内，且。已知，则有

当时，

当时，

当时，

3.射影面积公式

平面上任意多边形的面积，此多边形在另一平面上射影多边形的面积及这两个平面的夹角满足：

4.欧拉定理

设分别表示凸多面体面，棱和顶点的个数，则

5.正多面体

正多面体的性质：①每个面都是具有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数

正四面体         正六面体              正八面体       正十二面体       正二十面体

6.四面体常见性质

1)四面体都有外接球，球心是各条棱中垂面的交点，到各顶点的距离等于球的半径

2)四面体都有内切球，球心是各二面角的角平分面的交点，到各个面的距离等于球的半径

3)四面体四个面的重心和相对顶点的连线交于一点，这个点是四面体的重心，且重心将每条连线分为3:1

7.三视图

将空间体摆放在空间坐标系中，然后利用正投影将该立体面分别向三个投影面投射，即可得到该立体的三个投影。其中，平面的到的投影称为俯视图，平面的到的投影称为左视图，平面的到的投影称为正视图。

二、热身练习

1.(2011卓越)在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为(     )

A.    B.    C.   D.

分析与解：用空间向量易得，选B

2.(2007复旦)棱长为的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则两球半径之和为(      )

A.无法确定    B.    C.   D.

分析与解：因为两球互相外切，且各与正方体的三个面相切，故两球球心必在正方体同一条体对角线上。设两球半径分别为

如图，是该正方体的对角面，分别过

作垂直与截面长方形的边

易得

由

选C

3.(2008复旦)棱长为1的正四面体的对棱中点之间的距离为(     )

A.    B.    C.   D. 2

分析与解：如右图，连接各棱中点E,F,G,H，由已知易得EFGH为边长是正方形，则FG为其对角线，长度为，选A

4.(2010五校联考)四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为(       )

A.    B.    C.   D.

分析与解：如右图，易得

，选C

三、真题精讲

例1.(2009清华)四面体中，

(1)求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形

(2)设三个面与底面所成角分别为，求证：

分析与解：对棱相等的四面体，可以考虑寻找其题根，即长方体

(1)如图，将四面体补全成长方体，则

在中，

为锐角，同理，也是锐角

为锐角三角形，同理，其余各面也都是锐角三角形

(2)由已知，

设点A在底面的射影为点O，根据射影面积公式

例2.(2010同济)如图，四面体中，和为对棱，设，且异面直线与间的距离为，夹角为

(1)若，且棱垂直于平面，求四面体的体积

(2)当时，证明：四面体的体积为一定值

分析与解：(1)如图，过点作

由垂直于平面即与间的距离

(2) 如图，过点作面，连接并延长交与，

点作

由面

即即与间的距离

为定值

例3.(2004同济)设四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面

(1)求证：直线直线

(2)过直线且垂直于直线的平面交于点，如果三棱锥的体积取得最大值，求此时四棱锥的高

分析与解：(1)如图连接，交于

平面

(2) 如图，过作面于

平面

点为定点点在以为圆心的半圆上

又底面为定值

故当三棱锥的体积取得最大值时，恰为中点

即

例4.(2005交大)将3个的正方形沿邻边的中点剪开，分成两个部分(如左图)，将这6部分接于一个边长为的正六边形上(如右图)，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，求该多面积的体积。

分析与解：将几何体补全为一个正方体即可求出其体积

如图，作图是拼接成的结合体，右图为补全后的正方体

则，其体积为

例5.(2009南京大学)如图，四面体中，平面截四面体所得截面为，且∥平面，∥平面，到平面的距离为，到平面的距离为，求立体图形与四面体的体积之比。

分析与解：如图，作，连接

由已知易得

则

又

故

例6.(2011华约)一个圆柱形杯，其瓶底及壁的厚度忽略不计，质量为，其重心在圆柱中轴线的中点处，若向杯中倒入质量为的水，且，恰好倒满，此时杯和水的整体重心还在圆柱中轴线的中点上

(1)若倒入杯中的水，试求整体重心距杯底的高度与杯高的比值

(2)倒入多少水时，整体重心最低

分析与解：(1)设杯高为，倒入的水时重心高度为

由已知，空杯重心高度为，的水的重心高度为

则

(2)设倒入的水时，整体重心最低，此时水的重心高度为

则整体重心高度

令

则

当且仅当即时取得等号

即倒入的水时，整体重心最低，重心高度为

四、重点总结

1.熟练掌握立体几何及空间向量的常规解题方法和技能

2.熟练运用图形的割补，转化化归等立体几何常用解题技巧来帮助解题

五、强化训练

A组

1.(2010五校)如果平面，直线，点满足∥，且与所成角为，，与所成角为，那么与所成角大小为(     )

A.    B.    C.   D.

分析与解：如图，

根据三面角公式，易得与所成角满足

故在平面内的投影与所成角

故与所成角，选B

2.(2011华约)异面直线，夹角为60°，过定点有____________个平面与这两条直线都成45°

分析与解：不妨将两条直线平移至相交，再将点平移至两直线交点处，应不会改变答案。

因为与两直线夹角相等且不为0°的平面必然经过他们的两条角平分线。

而经过60°角角平分线的平面与两直线夹角最大值为30°，经过120°角角平分线的平面与两直线夹角最大值为60°。

故所要求的与两平面夹角都成45°的直线应经过120°角角平分线，有对称的两个

答案：2个

3. (2010复旦)设是正三棱柱，底面边长和高都是1，是侧面的中心点，则到侧面的对角线的距离是(        )

A.    B.    C.   D.

分析与解：过作

由已知，

选C

4.(2004同济)设与是两条非互相垂直的异面直线，与分别是过直线与的平面，有以下4个结论：(1) ∥,(2) ,(3) ∥,(4) ，则其中不可能出现的结论的序号为_______________

分析与解：由直线和平面的基本性质易得只有(2)不可能成立

答案：(2)

5.(2010复旦)设一个多面体从前面，后面，左面，右面，上面看到的图形(其中正方形边长为1)如图所示，则该多面体的体积为(        )

A.    B.    C.   D.

分析与解：如右图，这个几何体应是一个正方体切去一个三棱锥

易得，其体积为

选：C

6.(2008复旦)若四面体的一条棱长是，其余棱长都是1，体积是，则函数在其定义域上为(      )

A.增函数但无最大值       B.增函数且有最大值  

C.不是增函数且无最大值   D.不是增函数但有最大值

分析与解：如图四面体中，，其余各棱均为1

分别取中点，连接

由已知可得

易知平面，故

由函数性质，当时，取得最大值，故选：D

7. (2009复旦)正三棱柱的底是边长为1的正三角形，高，在上取一点，设与底的二面角为，与底的二面角为，则的最小值是(       )

A.    B.    C.   D.

分析与解：如图，过作，过作

设过，则

易得，

同理可得，

当时，

选C

8.(2003同济)棱长为的正四面体，如图建立直角坐标系，为在底面的投影，分别是所在棱的中点，则点的坐标是__________，与所成的角是_______

分析与解：由已知，

9.(2007北大)长方体中，为棱长，，求沿长方体表面从到的最短距离(其中是长方体的体对角线的两个端点)

分析与解：如图，分别取长方体三条棱的点

(1)    若经过点所在棱，则将上底面沿点所在棱翻出，

使得点所在棱,在同一平面中，此时即为最短距离

(2)    若经过点所在棱，则将上底面沿点所在棱翻出，

使得点所在棱,在同一平面中，此时即为最短距离

(3)    若经过点所在棱，则将上底面沿点所在棱翻出，

使得点所在棱,在同一平面中，

此时即为最短距离

因为，易得最小，即最短距离为

10.(2008浙大)有一个圆锥正放，它的高为，圆锥内水面高为，，将圆锥倒置，求倒置的水面高度

分析与解：由已知，易得

则倒置后，有

B组

1.(2010复旦)在一个底面半径为，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是(       )

A.32个    B.30个   C.28个  D.26个

分析与解：如图，左图为圆柱的轴截面，根据已知

，设小球半径为

则

右图为经过小球球心的圆柱横截面

设单底面最多能放个小球

由

选B

2.(2009同济)四面体4个顶点到平面的距离之比为1:1:1:3，则这样的平面共有几个？

分析与解：不妨设4个顶点到平面距离分别为1,1,1,3，考虑四个顶点在平面的同异侧情况

(1)若四个点都在同侧，则共有个平面

(2)若距离为3的点在一侧，另三个点在一侧，则共有个平面

(3)若距离为3的点和一个距离为1点在一侧，另两个点在一侧，则共有个平面

(4) 若距离为3的点和两个距离为1点在一侧，另一个点在一侧，则共有个平面

故共有32个平面

3.(2003复旦)一矩形的一边在轴上，另两个定点在函数的图像上，求此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值

分析与解：设轴上两点坐标分别为，函数上定点坐标为

的两根是

则几何体体积

故当，即时，

4.(2009复旦)半径为的球中装了4个半径为的球，求的最大值

分析与解：如图，为4个小球的球心，为大球球心，当取得最大值时，

4个小球两两相切且与大球相切，所以组成一个正四面体，其边长为2。

延长交大球于，则

又是四面体的中心，根据正四面体的性质可得

即的最大值为

5.(2010五校)(1)正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值

(2)一般的，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值

分析与解：将正棱锥分割成个三棱锥，如图的几何体即为其中一个

点是正棱锥顶点，是在底面上的投影，即底面正边形的中心

故，点为中点，连接，

设，平面与平面的夹角

则

令，

令，由(舍)

故当时，

(1)令,代入

(2)充要条件即为 侧面和底面所成二面角大小为