2019届二轮复习三角函数、解三角形、平面向量学案（全国通用）

基础回扣(三)　三角函数、解三角形、平面向量

 [要点回扣]

1．终边相同的角

α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈ )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．

[对点专练1]　已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值为        ．

[答案]　－

2．诱导公式

简记为“奇变偶不变，符号看象限”．

[对点专练2]　cos＋tan＋sin21π的值为        ．

[答案]　－

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间

(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；

(2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈ ；

(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为.

[对点专练3]　函数y＝sin的递减区间是        ．

[答案]　(k∈ )

4．三角的恒等变形中常见的拆角、拼角技巧

α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，

α＝[(α＋β)＋(α－β)]．

α＋＝(α＋β)－，α＝－.

[对点专练4]　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，

sin＝，则cos＝        .

[答案]　－

5．解三角形

已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中A>B⇔sinA>sinB.

[对点专练5]　在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°，则B＝        .

[答案]　45°

6．向量的平行与垂直

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

[对点专练6]　下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是        ．

[答案]　④

7．投影

a在b上的投影＝|a|cosa，b＝＝.

投影是一个实数，可以是正数、负数或零．

注意：a，b为锐角⇔a·b>0且a、b不同向；

a，b为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；

a，b为钝角⇔a·b<0且a、b不反向．

[对点专练7]　已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为        ．

[答案]　

8．数量积的运算

当a·b＝0时，不一定得到a⊥b；当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行．

[对点专练8]　下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；③对任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确命题是        ．

[答案]　④

[易错盘点]

易错点1　忽视角的范围致误

【例1】　已知sinα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，则α＋β＝        .

[错解]　∵α、β为锐角，

∴cosα＝＝，

cosβ＝＝.

∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝×＋×＝.

又0<α＋β<π.

∴α＋β＝或α＋β＝π.

[错因分析]　错解中没有注意到sinα＝，sinβ＝本身对角的范围的限制，造成错解．

[正解]　因为α，β为锐角，

所以cosα＝＝，

cosβ＝＝.

所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝×－×＝，

又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝.

对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中的角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解．

[对点专练1]　

(1)已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ的值为(　　)

A.　　　B．－　　　C.　　　D．－

(2)设α为锐角，若sin－α＝，则sin2α＋的值为        ．

[解析]　(1)∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝，又0<θ<，∴sinθ<cosθ.

∴sinθ－cosθ＝－

＝－＝－，故选B.

(2)依题意得cos－－α＝sin－α＝，即cos＋α＝，又α为锐角，因此<＋α<，sinα＋＝＝，sin2α＋＝sin2α＋＝2sinα＋·cosα＋＝.

[答案]　(1)B　(2)

易错点2　图象变化不清致误

【例2】　要得到y＝sin(－3x)的图象，只需将y＝(cos3x－sin3x)的图象上所有的点(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

[错解]　∵y＝(cos3x－sin3x)

＝sin＝sin.

∴把y＝sin(－3x)的图象向右平移个单位长度即可得到y＝(cos3x－sin3x)的图象，选D.

[错因分析]　题目要求由y＝(cos3x－sin3x)的图象得到y＝sin(－3x)的图象，位置颠倒导致错误．

[正解]　y＝(cos3x－sin3x)＝sin

＝sin，

要由y＝sin到y＝sin(－3x)只需对x加上即可，因而是对y＝(cos3x－sin3x)的图象向左平移个单位，故选C.

函数图象的左右平移是自变量x发生变化，如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±，所以平移的距离并不是φ.

[对点专练2]　

(1)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)

A．x＝－   B．x＝－

C．x＝   D．x＝

(2)对于函数f(x)＝sin2x＋，

①函数图象关于直线x＝－对称；

②函数图象关于点，0对称；

③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；

④函数图象可看作是把y＝sinx＋的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到．

以上叙述所有正确的是        (填写序号)．

[解析]　(1)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为y＝sin，再将图象向右平移个单位所得函数图象的解析式为y＝sin＝sin＝－cos2x，即y＝－cos2x，令2x＝kπ，k∈ ，则x＝，k∈ ，即对称轴方程为x＝，k∈ ，故选A.

(2)函数f(x)＝sin2x＋的对称轴为2x＋＝kπ＋，k∈ ，解得x＝＋，k∈ .而当x＝－时，k无解，故①错误；函数f(x)＝sin2x＋图象的中心对称点的横坐标为2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈ ，当k＝1时，x＝，所以函数图象关于点，0对称，故②正确；将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到的函数图象为y＝sin2x＋＝sin2x＋，故③错误；利用三角函数伸缩性易得④正确，所以正确的有②④.

[答案]　(1)A　(2)②④

易错点3　三角形解的个数不清致误

【例3】　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝.

(1)若C＝，求A；

(2)若A＝，求b，C.

[错解]　(1)在△ABC中，＝，

∴sinA＝＝，∴A＝或.

(2)由＝得sinC＝＝，

∴C＝，由C＝知B＝，

∴b＝＝2.

[错因分析]　在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sinC＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2.这样就出现漏解的错误．

[正解]　(1)由正弦定理得＝，

即sinA＝＝.

又a<c，∴A<C，∴0<A<，∴A＝.

(2)由＝，得sinC＝＝＝，

∴C＝或.

当C＝时，B＝，∴b＝2；

当C＝时，B＝，∴b＝1.

综上所述，b＝2或b＝1.

已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．

 [对点专练3]　

(1)若满足条件AB＝，C＝60°的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是(　　)

A．(1,2)   B．(，)

C．(，2)   D．(，2)

(2)在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为        ．

[解析]　(1)若满足条件的三角形有两个，则＝sinC<sinA<1，又因为＝＝2，故BC＝2sinA，

∵A，，所以<BC<2，故选C.

(2)由＝，得

sinC＝＝＝.

∵AB>AC，∴C>B.∴C＝60°或120°.

∴A＝90°或30°.

由△ABC的面积S＝AB·AC·sinA，

得S＝2或.

[答案]　(1)C　(2)2或

易错点4　忽视向量共线致误

【例4】　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是        ．

[错解]　∵cosθ＝＝ .

因为θ为锐角，有cosθ>0，

∴>0⇒2λ＋1>0，

得λ>－，λ的取值范围是.

[错因分析]　当向量a，b同向时，θ＝0，cosθ＝1满足cosθ>0，但不是锐角．

[正解]　a·b>0，且a与b不共线，

即解得

∴λ的取值范围是.

在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a，b为非零向量，a与b的夹角为θ，则①θ为锐角⇔a·b>0且a，b不同向；②θ为直角⇔a·b＝0；③θ为钝角⇔a·b<0且a，b不反向．

[对点专练4]　

(1)已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，则“A，B，C三点共线”是“λ1λ2＝1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

(2)设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为.若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的范围为        ．

[解析]　(1)依题意，由A，B，C三点共线，可设＝m(m≠0)，则有λ1a＋b＝ma＋mλ2b，又a，b不共线，因此得λ1λ2＝1.反过来，由λ1λ2＝1显然能得出A，B，C三点共线．综上所述，“A，B，C三点共线”是“λ1λ2＝1”的充分必要条件，故选C.

(2)(2te1＋7e2)·(e1＋te2)

＝2t|e1|2＋(2t2＋7)e1·e2＋7t|e2|2

＝2t×4＋2t2＋7＋7t

＝2t2＋15t＋7

∵向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，

∴2t2＋15t＋7<0，得－7<t<－.

由2te1＋7e2与e1＋te2反向，得t＝－.

故t的范围是∪.

[答案]　(1)C　(2)∪

易错点5　向量夹角概念不清致误

【例5】　已知等边△ABC的边长为1，则·＋·＋·＝        .

[错解]　∵△ABC为等边三角形，∴||＝||＝||＝1，向量、、间的夹角均为60°.

∴·＝·＝·＝.

∴·＋·＋·＝.

[错因分析]　数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cosθ，这里θ是a与b的夹角，本题中与夹角不是∠C.两向量的夹角就为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图与的夹角应是∠ACD.

[正解]　如图与的夹角应是∠ACB的补角∠ACD，

即180°－∠ACB＝120°.

又||＝||＝||＝1，

所以·＝| |cos120°＝－.

同理得·＝·＝－.

故·＋·＋·＝－.

在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误．平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质变成纯三角问题．

 [对点专练5]　

(1)在△ABC中，||＝3，||＝2，点D满足2＝3，∠BAC＝60°，则·＝(　　)

A．－   B. 

C.   D．－

(2)已知△ABC中，||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·的值为        ．

[解析]　(1)因为2＝3，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝

＋，所以·＝·＝·(－)＝2－·－2＝×22－×2×3×cos60°－×32＝－，故选D.

(2)因为S△ABC＝×4×1×sinA＝，所以sinA＝，得A＝或A＝，·＝1×4×cosA＝±2.

[答案]　(1)D　(2)±2