2019届二轮复习求数列通项公式必备的方法和技巧学案（全国通用）
展开
2019届二轮复习 求数列通项公式必备的方法和技巧 学案 （全国通用）
考纲要求:
1.了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n项和)
2.了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)；
3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)．
基础知识回顾:
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项)．
2．数列与函数的关系
(1)从函数观点看，数列可以看成是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
(2)数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法．
3.数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式（提示：不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一）．
4.数列的通项an与前n项和Sn的关系：数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an，则通项an＝(提示：若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示)．
5.递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
应用举例:
类型一：由数列的前几项求数列的通项公式
【例1】【北京市昌平临川育人学校2017-2018学年高一下学期第二次月考】数列的一个通项公式是( )
A． B． C． D．
【答案】B]
【解析】
【分析】
根据数列的前几项，找规律求得通项公式。
【点睛】
本题考查了数列通项公式的简单求法，属于简单题。
【例2】【黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修1-2同步练习】数列1，3，6，10，15，…的递推公式可能是( )
A．
B． 学 ]
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据前几项的规律归纳出数列前几项的地、递推关系，从而可得
【详解】
由题意可得，a1=1
a2﹣a1=2
a3﹣a2=3
a4﹣a3=4
a5﹣a4=5
…
∴an﹣an﹣1=n
故数列的地推公式为
故选：B．
【点睛】
本题主要考察了数列的递推公式的应用，解题的关键是根据前几项的规律归纳出数列的关系
类型二、已知递推关系式求通项公式
（1）形如an＋1＝anf(n)，求an
【例3】【2017浙江省温州市高三月考试题】在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式是 .
【答案】an＝.
【解析】∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝.学
（2）形如an＋1＝an＋f(n)，求an
【例4】【吉林省舒兰市一中2018-2019学年高二九月月考】数列中，，且，则
A． 1024 B． 1023 C． 510 D． 511
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合递推关系求解的值即可.
【点睛】
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
【例5】【2017河南郑州一中高三月考】若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式是 .
【答案】an＝2n－1.
【解析】由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1. ]
（3）形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
【例6】数列满足，且，则数列的通项公式= ．
【答案】．
【解析】试题分析：由题意可得：，所以是以为首项，公比为3的等比数列．所以，即．故应填．
考点：1、数列递推式求通项公式．学
（4）形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an
【例7】【湖南省娄底市蓝圃学校2017-2018学年高二月考】由a1＝1，给出的数列{an}的第34项是( )
A． B． 100 C． D．
【答案】A
【解析】 . ]
【分析】
由数列的递推关系式，分别求解出，再寻找出计算的规律，利用等差数列的性质，即可求解．
【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中明确数列的递推关系式，进行逐项求解，找出数列的构成规律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
类型三、已知数列的前n项和Sn或Sn与an的关系求通项公式
【例8】【福建省三明市2018届高三5月质量检测】若为数列的前项和，且，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得数列的通项公式，然后结合通项公式求解前n项和即可.
详解：当时，，据此可得：，
当时：，
两式作差可得：，则：，
据此可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，
其前8项和为：.
本题选择C选项.
点睛：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
【例9】【福建省福州第三中学2017届高三5月模拟考试】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，∴，即，即，故，
由知，∴，
，；
若对任意恒成立，只需使，
即，解得.
本题选择D选项.
点睛：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
【例10】【云南省昆明一中2018届高三第一次摸底测试】已知数列的前项和为，且， ，则数列中的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法， 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.，进而得出的通项公式.
类型四、已知数列类型求其通项公式
【例11】【安徽省亳州市二中2017届高三下学期教学质量检测】已知等差数列的公差为正数， ， ， 为常数，则 ．
【答案】
方法、规律归纳:
1.根据数列的前几项求通项公式的方法：主要是观察项与序号的变化规律，采用不完全归纳推理完成．在归纳时注意：(1)分式中分子、分母的特征．(2)相邻项的变化特征．(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分．(4)各项的符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来．判断一个式子是不是数列的通项公式，可通过代入检验数列前几项，看是否满足给出的式子．
2.由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法．形如an＝pan－1＋m(p，m为常数，p≠1，m≠0)时，构造等比数列；形如an＝an－1＋f(n)({f(n)}可求和)时，用累加法求解；形如＝f(n)({f(n)}可求积)时，用累积法求解．
实战演练:
1．【天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校2018届高三上学期期中联考】若数列中， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】， 即奇数项偶数项构成的数列均为常数列，又
故选C
2．【湖北省荆州中学2018届高三上学期第三次双周考（理）】已知数列满足，则＝（ ）
A． 0 B． C． D．
【答案】C
3．【广东省珠海市2018届高三9月摸底考试数学】整数列{an}满足an+1- an-1 < 3n +， an+2-an> 3n+1-， a2 = 3 ，则 a2018 =
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由,可得： ，又且{an}为整数列，所以，
.
故选：C
点睛：数列通项的求法：归纳法、递推公式法、通项与前n项和的关系、两边夹的方法.
本题就是通过两边夹的方法来定通项， ,又{an}为整数列，可得：
，然后通过累加得方式求a2018.
4．【河北省保定市2017届高三二模】已知数列中，前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． 3 D． 1
【答案】C
5．【九江市2017年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: ，…，该数列的特点是：前两个数均为 ，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,则：
. 学 ]
本题选择A选项.
6．【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟（一）】斐波那契数列满足：
.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A,由图可知， ，可得
，A正确；对于B,
,所以B正确；对于C, 时，
；C错误；对于D, ,D正确.故选C.
【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察数列的各种性质及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
7．【宁夏育才中学2019届高三上学期月考二】在数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据递推公式，求出前几项，找规律，可得数列为周期数列，即可求解。
【详解】
因为，所以 ，，
所以数列是周期为3的数列，所以。
故选D。
【点睛】
已知数列的递推公式，求数列的项数较大的项时，可根据递推公式求出数列的前几项，寻找规律，可得数列的周期，即可求解。
8．【河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二）】已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，分别求出，即可得到结论．
整理得，
解得或，
∵，
∴．
∴．
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查递推数列的应用，考查运算能力和推理能力，其中探求得到题目条件中给出的数列的规律性是解题的关键．
9．【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知数列的首项，满足
，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ,两式相加可得
，利用“累加法”可得结果.
，故答案为C.
【点睛】
由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.
10．【2019届高考数学（理）全程训练：天天练21 数列的概念及表示】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
(n∈N )，则是这个数列的( )
A． 第6项 B． 第7项
C． 第8项 D． 第9项
【答案】B
解法二 由an＋1＝可和＝＋，即数列是以＝1为首项，为公差的等差数列，故＝1＋(n－1)×＝n＋，即an＝，由＝，解得n＝7，故选B.
