2019届二轮复习绝对值不等式学案（全国通用）

2019届二轮复习   绝对值不等式  学案 （全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1. 绝对值不等式的解法

1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．

2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式

(1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．

2. 绝对值不等式的应用

如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

【重点难点突破】

考点1  绝对值不等式的解法

【1-1】【2017天津，文2】设，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件  （B）必要而不充分条件

（C）充要条件          （D）既不充分也不必要条件

【答案】

【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项. 学 .

【1-2】不等式的解集为               ．

【答案】.

【领悟技法】

形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：

(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.

(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．

【触类旁通】

【变式一】若表示不超过的最大整数，则关于的不等式解集为(    )

A.     B. 或

C.     D.

【答案】C

【解析】不等式 ,分别画出函数和的图象,如图所示,则当或x=1时满足题意,故选C.

【变式二】不等式的解集为           

【答案】.

【解析】

1＜|x＋1|＜3⇔1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1⇔0＜x＜2或－4＜x＜－2.

考点2  绝对值不等式的证明

【2-1】【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（   ）

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100

【答案】D

【解析】举反例排除法：

A.令，排除此选项，学  ]

B.令，排除此选项，

C.令，排除此选项，故选D．   

【2-2】【2018届重庆市第三次抽测】已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若证明：

【答案】（1）（2）见解析

【领悟技法】

两类含绝对值不等式的证明问题

一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理： a|－|b ≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．

【触类旁通】

【变式一】已知函数．

（1）解不等式；

（2）若，，且，求证：．

【答案】(1) 或 (2)见解析

【变式二】设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.

(1)证明：<；

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．

【答案】(1)证明：见解析.(2)|1－4ab|>2|a－b|.

【解析】(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2| 学  ]

＝

由－2<－2x－1<0，解得－<x<，则M＝.

所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.

(2)由(1)得a2<，b2<.

因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)

＝(4a2－1)(4b2－1)>0，

所以|1－4ab|2>4|a－b|2，

故|1－4ab|>2|a－b|. 学  ]

考点3  绝对值不等式的综合应用

【3-1】．【2018年天津市河北区二模】已知函数，若，则实数的取值范围是         .

【答案】或

【解析】

由题意得函数为偶函数，且当时函数单调递减，当时函数单调递增．

原不等式可化为，

∴，

两边平方整理得，

解得或．

∴实数的取值范围是．     ]

【3-2】【2018年理新课标I卷】已知．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围．

【答案】(1).(2)．

【领悟技法】

含绝对值不等式的应用中的数学思想

(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．

【触类旁通】

【变式一】已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是      .

【答案】

【变式二】若实数的不等式无解,则实数的取值范围是          .

【答案】

【解析】

由绝对值三角不等式可知：,

即，结合恒成立的结论可知实数的取值范围是.

表示为区间形式即.

【易错试题常警惕】

易错典例：已知函数， ．

（Ⅰ）当时，求关于的不等式的解集；

（Ⅱ）当时， ，求实数的取值范围．

易错分析：一是由于对绝对值的概念理解不好，不能很好地掌握“零点分段讨论法”，将绝对值函数化为分段函数分别接不等式；二是不能正确的利用绝对值不等式的性质，适当放缩不等式．

正确解析：（I）当时，不等式为，

若时，不等式可化为，解得，

若时，不等式可化为，解得，

若时，不等式可化为，解得，

温馨提示：1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．

2．绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.