2019届二轮复习数列学案（全国通用）

2018二模汇编高考最后冲刺讲义——数列
一、 考纲解读
内容
要求
记忆水平
解释性理解水平
探究性理解水平





五、数列与数学归纳法
数列的
有关概念

理解数列、数列的项、通项、有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、摆动数列、常数列等概念

等差数列


掌握等差数列的通项公式及前项和公式
等比数列


掌握等比数列的通项公式及前项和公式；
简单的
递推数列


会解决简单的递推数列的有关问题（简单递推数列主要指一阶线性递推数列）
数列的极限

理解直观描述的数列极限的意义
掌握数列极限的四则运算法则
无穷等比数列各项的和


会求无穷等比数列各项的和
数列的实际
应用问题


会用数列知识解决简单的实际问题
数学归纳法
知道数学归纳法的基本原理

掌握数学归纳法的一般步骤，并会用于证明与正整数有关的简单命题和整除性问题
归纳—猜测
—论证

领会“归纳—猜测—论证”的思想方法
具有一定的演绎推理能力和归纳、猜测、论证的能力


二、知识梳理
1、等差数列{}中，通项，前项和（为公差，）.证明某数列
是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：是常数
(=常数，，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数有：（）.
【例1】已知函数，数列满足，
．
(1)若数列是常数列，求a的值；
(2)当时，记，证明数列是等比数列，并求出通项公式．
【答案】(1)1或-1．(2)
【分析】(1)∵，数列是常数列，
∴，即，解得，或．
∴所求实数的值是1或-1．
(2)注意要证明数列是等比数列，则要证明是常数。
而,∴．
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，于是．
由即，解得．
∴所求的通项公式．
2、在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则，等差（比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.
【例1】数列是等比数列，，且公比为整数，则的值为 .
【答案】
【分析】由，得或，又此数列的公比为整数，
所以公比，则.
【例2】在等比数列中，，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由数列是等比数列，得，所以
=16，由，得，所以.
3、等差数列当首项且公差，前项和存在最大值.当首项且公差，前项和
存在最小值.求等差数列前项和的最值可以利用不等式组来确定的值；也可以利用
等差数列的前项的和是的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.
【例1】若是等差数列，首项，则（1）使前项和
最大的自然数是＿＿；（2）使前项和的最大自然数 ；
【答案】2006；4012.
【分析】由条件可以看出，可知最大，则使最大的自然数为2006；
由知，，，所以，则使的最大自然数为4012.
【例2】在等差数列中，满足且是数列前项的和.若取得最大值，则＿.
【答案】9.
【分析】法一、首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由，知，则
.当时，当时，所以.
法二、，
由，得，故对称轴为，又所以时，取得最大值。
4、数列是等比数列，其前项的和是关于的分段函数，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.
【例1】设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则 .
【答案】
【分析】注意到等比数列的前项和，所以该题要另外考虑的情况。
当时，由，有，得，故舍，
当时，由，有，得
解得（舍）或.
【例2】数列是等比数列，首项，公比，求的值.
【答案】
【分析】涉及到等比数列的前项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.
当时，，此时；
当时，，则=.

5、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.
【例1】已知数列是公差不为的等差数列，数列是等比数列，且，， 求数列的通项公式。
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题设可得
因为数列是公差不为0的等差数列，所以，即
6、 等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列是正项等比数列，记，则数列是等差数列.反之若数列是等差数列，记，则数列是等比数列.
【例1】数列为等比数列，则下列结论中不正确的是（ ）
A、是等比数列 B、是等比数列
C、是等比数列 D、是等差数列
【答案】D
【分析】遇到这种类比题，可以用等差等比数列定义来做。
A,B,C选项都可以用定义得到后一项与前一项的差为同一个常数，至于D选项不能保证真数大于零，故不选择。
【例2】在共有2009项的等比数列中，有等式成立；类比上述性质，在共有2009项的等差数列中，相应的有等式 成立。
【答案】
【分析】注意类比的一些常见规律，此题做起来就轻松多了。


7、等差数列的前项和公式可以表示为：，，其中，为公差的一半，为首项。当时，它是关于的二次式，且不含有常数项。

当时，，故可以写成的形式，系数和常数是相反数的关系.
【例1】设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：
①若，则既是等差数列又是等比数列；
②若，则是等差数列；
③若，则是等比数列．这些命题中，真命题的序号是
【答案】②③
【分析】①中可能为0，故不一定是等比数列；②和③都符合等差等比数列前n项和的形式，故都可以选择，当然也可以根据算出，再证明等差或者等比。
8、已知数列的前项和，求数列的通项公式时，要注意分段.
当满足时，才能用一个公式表示.
【例1】已知数列的前项和，求的通项公式；若是等差数列，求的通项公式.
【答案】；
【分析】由知，时，，当时，
.当时，，而，两个值不一定相等，所以不能合并，.若数列是等差数列，则，所以.则.
9、求通项公式的常见方法：
形如：+的递推数列，求通项用累加（消项）法；
形如：的递推数列，求通项用累乘（约项）法.
一次线性递推关系：数列满足：是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当时，此数列是等差数列，当（时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令化成等比数列求解.
【例1】数列满足，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：，等比数列的递推关系：.
由题知：相加得：，又，所以，而满足此式，则.
【例2】已知数列满足：，求此数列的通项公式.
【答案】
【分析】由得：知数列是等比数列，首项为2，公比为2，所以，知.
10、求和的常见方法：
错位相减法求和：若等差，等比，求的和，用错位相减法求和；
裂项法求和：若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。
常见拆项：
倒序相加法求和：这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），
再把它与原数列相加，就可以得到个。
【例1】求和：
【答案】
【分析】因为，又是等差数列，可发现数列中与首末两端等距离的两项之和相等，故可进行倒序相加。
设 ①
把①式右边倒转过来得
又由可得
②
①+②得
∴
【例2】已知，令bn=(nN )，求数列的前n项和．
【答案】
【分析】考查到分母为两个等差数列，差为常数，
故==，
所以==，
即数列的前n项和=。
11、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.
【例1】某企业去年底有资金积累万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长25 ，但每年底要留出万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求的最大值.
【答案】13
【分析】与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年底、年初的不同.
设从今年开始每年底该企业的资金积累为万元，则（万元），，则.所以数列是
以为首项，为公比的等比数列，所以，
.由题知，则，求得：.
即的最大值大约为13 .
12、常见的极限要记牢：，注意存在与是不相同的；若是关于的多项式函数，要会求；无穷等比数列的各项和：。
【例1】求的值；.
【答案】
【分析】对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限.
当时，原式；当时，原式.
【例2】若，则＿＿＿＿；＿＿＿＿.
【答案】
【分析】对于分子分母是关于的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.
注意到此式极限为1是存在的，由上分析知，所以.
【例3】数列是等比数列，前项和为，且，求的取值范围.
【答案】.
【分析】注意到等比数列的公比是不为零的常数，前项和存在的前提条件是，且，知，则，有，则.
13、理解极限是“无限运动的归宿”.
【例1】已知△ABC的顶点分别是，记△ABC的外接圆面积为，则 .
【答案】
【分析】在解析几何与数列极限结合的题型上，我们的解题思路一般有两种：
解题思路一、先运算再求极限，是“漫长”的工作，甚至不一定能够求出结果；
解题思路二、极限和几何图形的交叉，提醒我们可以先确定几何图形最终的形状，再求值，简洁，但对考生的综合能力提出了较高的要求。
本题若要先求出三角形ABC的面积后再求极限则是“漫长”的工作，注意到当时A、B、C点的变化，不难看出△ABC被“压扁”成一条长为4的线段，而此线段就是此三角形外接圆的直径.从而有.
【例2】已知圆：与圆：．设圆与轴正半轴的交点为，圆与圆在轴上方的交点为，直线交轴于点．当趋向于无穷大时，点无限趋近于定点，定点的横坐标为 ．
【答案】4
【分析】该题与上题不一样，他只能选择先运算再求极限。先取极限在这里行不通。
设，依题意，
由，故，
令，则
三、2018年二模汇编

四、直击高考：
1、填空题
1.（2009年上海高考文13）已知函数.项数为27的等差数列满足,且公差. 若，则当=_____时,.
【答案】14.
2.（ 2010年上海高考文12） 在行列矩阵中，
记位于第行第列的数为，当时， .
【答案】45
3．（2010年上海高考文14）将直线、、 （，）围成的三角形面积记为，则
【答案】
4.（2010年上海高考理11）将直线、（，）轴、轴围成的封闭图形的面积记为，则
【答案】1
5.（2011年上海高考文2）
【答案】
6.（2011年上海高考理14）已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则
【答案】
7.（2012年上海高考理6/文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 .
【答案】
8.（2012年上海高考文14）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 .
【答案】
9. (2013年上海高考理1）计算： ．
【答案】
10.（2013年上海高考理10）设非零常数是等差数列的公差，随机变量 等可能地取值，则方差 ．
【答案】
11.（2013年上海高考文2）在等差数列中，若，则 ．
【答案】15
12. （2014年上海高考文10）等比数列的公比为，若，则 ．
【答案】
13. （2016年上海高考理11）无穷数列由 个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则 的最大值为 .
【答案】
14. （2017年上海高考理10)已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整
数，若对于任意，的第项等于的第项，则
【答案】
2、选择题
13.（2011年上海高考理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为 （ ）
A 是等比数列
B 或是等比数列
C 和均是等比数列
D 和均是等比数列，且公比相同
【答案】D
14.（2012年上海高考文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）
A．16 B.72 C.86 D.100
【答案】C
15.（2012年上海高考理18）设，，在中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】D
16.（2013年上海高考理17）在数列中，．若一个7行12列的矩阵的第行第列的元素（；），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）．
A．18 B. 28 C. 48 D. 63
【答案】A
17.（2013年上海高考文18）记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（ ）．
A. 0 B. C. 2 D.
【答案】D
18.（2015年上海高考文理18）设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

19.（2016年上海高考理17）已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
20.（2017年上海高考14）在数列中，，，则（ ）
A. 等于 B. 等于0 C. 等于 D. 不存在
【答案】B
21.（2017年上海高考15）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存
在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3、解答题
19.（2009年上海高考文23）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列
（1）若，是否存在，有请说明理由；
（2）若bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0），对任意m存在 ，有bm·bm+1=b ，试求a、q满足的充要条件；
（3）若an=2n+1，bn=3n，试确定所有的p，使数列{bn}中存在某个连续p项的和是{an}中的一项，请证明.
【答案】（1）由得，整理后，可得
、，为整数不存在、，使等式成立。
（2）当时，则
即，其中是大于等于的整数
反之当时，其中是大于等于的整数，则，
显然，其中
、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数
（3）设
当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，
当为偶数时，式不成立。
由式得，整理得
当时，符合题意。当，为奇数时，


由，得

当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。
当为奇数时，命题都成立。

20.（2009年上海高考理23）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列
（1）若，是否存在，有说明理由；
（2）找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
（3）若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明
【答案】（1）， ……2分
整理后，可得，为整数，
不存在，使等式成立。 ……5分
（2）解法一 若即， （ ）
（i）若，当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。……7分
（ii）若，（ ）式等号左边取极限得（ ）式等号右只边只有当时，才可能等于1，此时等号左
边是常数，，矛盾。
综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。……10分
解法二 设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即，
，对都成立，……7分
（i）若，.
（ii）若，则
综上所述，，使对一切，. ……10分
（3），
设
，
，， ……13分
取，……15分
由二项展开式可得整数，使得，
存在整数满足要求。
故当且仅当，命题成立。 ……18分
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若为偶数，则为偶数，但为奇数。
故此等式不成立，一定为奇数。 ……1分
当，
而
当为偶数时，存在，使成立， ……1分
当 ，
也即，，
由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分
当，
也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，
故不是所有奇数都成立.

21.（2010年上海高考文21）已知数列的前项和为，且，
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
【答案】(1)由 （1）
可得：，即.
同时 （2）
从而由可得：
即：，从而为等比数列，首项，公比为，
通项公式为，从而
（2）即，，，
解得 ，从而.
22.（2010年上海高考理20）已知数列的前项和为，且，
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由.
【答案】（1）略 （2） ， 取得最小值
23.（2011年上海高考文23）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。
（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；
（2）中有多少项不是数列中的项？说明理由；
（3）求数列的前项和（）
【答案】（1） 三项分别为.
（2） 分别为


（3），，，
∵
∴ .

24.（2011年上海高考理22）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。
（1）求；
（2）求证：在数列中、但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式
【答案】（1）；
（2）① 任意，设，则，即
② 假设（矛盾），∴
∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为。
（3），，，
∵
∴ 当时，依次有，……∴ .
25.（2012年上海高考文23）对于项数为m的有穷数列数集，记（ =1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）
（2）设是的控制数列，满足（C为常数， =1,2,…,m）.
求证：（ =1,2,…,m）；（6分）
（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，
求.
【答案】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；
2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分
（2）因为，，
所以. ……6分
因为，，
所以，即. ……8分
因此，. ……10分
（3）对，；；
；.
比较大小，可得. ……12分
因为，所以，即；
，即.
又，从而，，，. ……15分
因此
=
=
===. ……18分

26.（2012年上海高考理23）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.
（1）若x＞2，且，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn＞1时，x1=1；）
（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式.
【答案】（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. ……2分
所以x=2b，从而x=4. ……4分
（2）证明：取.设满足.
由得，所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，
故1ÎX. ……7分
假设，其中，则.
选取，并设满足，即，
则、异号，从而、之中恰有一个为-1.
若=-1，则2，矛盾；
若=-1，则，矛盾.
所以x1=1. ……10分
（3）[解法一 猜测，i=1, 2, …, n. ……12分
记， =2, 3, …, n.
先证明：若具有性质P，则也具有性质P.
任取，、Î.当、中出现-1时，显然有满足；
当且时，、≥1.
因为具有性质P，所以有，、Î，使得，
从而和中有一个是-1，不妨设=-1.
假设Î且Ï，则.由，得，与Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P. ……15分
现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n.
当n=2时，结论显然成立；
假设n= 时，有性质P，则，i=1, 2, …, ；
当n= +1时，若有性质P，则
也有性质P，所以.
取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若，则1，不可能；
所以，，又，所以.
综上所述，，i=1, 2, …, n. ……18分
[解法二 设，，则等价于.
记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称. ……14分
注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，
所以也只有n-1个数.
由于，已有n-1个数，对以下三角数阵


……

注意到，所以，从而数列的通项公式为
， =1, 2, …, n. ……18分
27.（2013年上海高考文22）已知函数，无穷数列满足，．
（1）若，求；
（2）若，且成等比数列，求的值；
（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．
【答案】（1），，．
（2），．
① 当时，，所以，得．
② 当时，，所以，得（舍去）或．
综合①②得或．
（3）假设这样的等差数列存在，那么，．
由得（）．
以下分情况讨论：
① 当时，由（）得，与矛盾；
② 当时，由（）得，从而 ，所以是一个等差数列；
③ 当时，则公差，因此存在
使得．此时，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当时，构成等差数列．
28.（2013年上海高考理23）给定常数，定义函数．数列
满足，．
（1）若，求及；
（2）求证：对任意，；
（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．
【答案】（1）．
（2）
当时，；
当时，；
当时，．
所以，对任意，．
（3）由（2），结合得，即为无穷递增数列．
又为等差数列，所以存在正数，当时，，
从而，．
由于为等差数列，因此其公差．
① 若，则，
又，故，即，从而．
当时，由于为递增数列，故，
所以，，而，
故当时，为无穷等差数列，符合要求；
② 若，则，又，
所以，，得，舍去；
③ 若，则由得到，
从而为无穷等差数列，符合要求．
综上，的取值集合为．
29.（2014年上海高考文23）已知数列满足，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；
（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．
【答案】（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．
（2）设的公比为．由，且，得．
因为，所以．从而，，解得．
时，．所以，的最小值为，时，的公比为．
（3）设数列的公差为．由，，．
① 当时，，所以，即．
② 当时，，符合条件．
③ 当时，，所以，，
又，所以．
综上，的公差的取值范围为．
30.（2014年上海高考理23）已知数列满足，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）设是公比为的等比数列，．若，，
求的取值范围；
（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，
以及取最大值时相应数列的公差．
【答案】（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．
（2）由，且，得，所以．又，所以．
当时，，，由得成立．
当时，．即．
① 若，则．由，，得，所以．
② 若，则．由，，得，所以．
综上，的取值范围为．
（3）设的公差为．由，且，
得，．即 ．
当时，；
当时，由，得，所以．
所以，即，得．
所以的最大值为1999，时，的公差为．
31.（2015年上海高考理22）（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.
【答案】（1）（2）详见解析（3）

因为，，所以，即.
故的第项是最大项.
解：（3）因为，所以，
当时，

.
当时，，符合上式.
所以.
因为，所以，. g st .
①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；
②当时，的最大值为，最小值为，而；
③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.
综上，的取值范围是.
【考点定位】等差数列，数列单调性

32.（2015年上海高考文23）（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
已知数列与满足（）.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得对任意的、，，且.
分析：作为压轴题，本题的第一问比较简单，只要通过题目给出的等量关系转化就可以完成；第二问给出的条件较为抽象，没有具体的通项公式，而且题干中的条件比较少，所以难度跳跃很大，考查了累加法的你运用，由简到繁的运算是很多上海考生所想不到的；第三问的难点在于如何一步步缩小的取值范围；首先依题意把的通项公式求出来，然后根据、的任意性，找出特殊值与的关系， 根据指数函数性质，可以确定出为最大值，为最小值，进而求出题目结论。
答案：（1）
（2）设，，
当时，


同理，当时，
综上，对恒成立，即的第项是最大项；
（3）

33.（2016年上海高考理23）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
解析：（1）因为，所以，，．
于是，又因为，解得．
（2）的公差为，的公比为，
所以，．
．
，但，，，
所以不具有性质．
（3）[证 充分性：
当为常数列时，．
对任意给定的，只要，则由，必有．
充分性得证．
必要性：
用反证法证明．假设不是常数列，则存在，
使得，而．
下面证明存在满足的，使得，但．
设，取，使得，则
，，故存在使得．
取，因为（），所以，
依此类推，得．
但，即．
所以不具有性质，矛盾．
必要性得证．
综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．