2019届二轮复习（理）专题68绝对值不等式学案（全国通用）

1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

①|a+b|≤|a|+|b|;

②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:

|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;

|x-a|+|x-b|≥c.

3.会用绝对值不等式、平均值不等式证明一些简单问题；能够利用平均值不等式求一些特定函数的最(极)值.

一、绝对值不等式的解法

1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可。

(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R。

2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法    

可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．

(1)零点分区间法的一般步骤

①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；

③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．

(2)利用绝对值的几何意义

由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．

3．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法

(1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．

(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．

二、绝对值不等式的证明

证明绝对值不等式 a|－|b ≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法

1．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．

2．利用三角不等式 a|－|b ≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．

3．转化为函数问题，数形结合进行证明．

三、绝对值不等式的综合应用

1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．

2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a.

f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.

高频考点一　含绝对值不等式的解法

【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.

法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔

或

或解得x≥2或x≤－3，     

∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).

法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.

令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则

f(x)＝作出函数的图象，如图所示.

由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，

∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).

【方法规律】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.

【变式探究】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.

(1)在图中画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，

故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1的解集为.

所以|f(x)|>1的解集为.

高频考点二　含参数的绝对值不等式问题

【例2】 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值.

(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.

【方法规律】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法.

【变式探究】 (1)若关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解，求实数d的取值范围.

(2)不等式≥|a－2|＋sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围.

解　(1)∵|2 014－x|＋|2 015－x|≥|2 014－x－2 015＋x|＝1，

∴关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解时，d≥1.

(2)∵x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，

∴∈[2，＋∞)，其最小值为2.

又∵sin y的最大值为1，

故不等式≥|a－2|＋sin y恒成立时，

有|a－2|≤1，解得a∈[1，3].

高频考点三　含绝对值的不等式的应用

【例3】已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围.

解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.

(2)当x∈R时，

f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝时等号成立，

所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.

当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.

所以实数a的取值范围是[2，＋∞).  

【方法规律】(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.

【变式探究】已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围.

(2)由题设可得，f(x)＝

所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，

△ABC的面积为(a＋1)2.

由题设得(a＋1)2>6，故a>2.

所以实数a的取值范围为(2，＋∞).

1. （2018年全国I卷理数）[选修4–5：不等式选讲]

已知.

（1）当时，求不等式的解集；   ]

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）．

（2）．

【解析】

2. （2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）,(2)

【解析】（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—5：不等式选讲]

设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

【答案】（1）见解析

（2）5

【解析】（1） 的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5。

4. （2018年江苏卷）[选修4—5：不等式选讲]

若x，y， 为实数，且x+2y+2 =6，求的最小值．

【答案】4

【解析】证明：由柯西不等式，得．

因为，所以，

当且仅当时，不等式取等号，此时，

所以的最小值为4．

1.【2017课标1，理】已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（2）当时， .

所以的解集包含，等价于当时.

又在的 最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.

2.【2017江苏，21】［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

已知为实数，且证明

【答案】见解析

【解析】证明：由柯西不等式可得： ，

因为

所以，

因此.

3.【2017课标II，理23】已知。证明：

（1）；

（2）。

【答案】(1)证明略；(2)证明略。

1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲

已知函数.

（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；

（II）求不等式的解集．

【答案】（I）见解析（II）

【解析】⑴如图所示：

2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲

已知函数，为不等式的解集．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：当时，．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

所以的解集.

（II）由（I）知，当时，，

从而，

因此

1.【2015高考新课标1，理24】选修4—5：不等式选讲

 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）

【解析】

（Ⅰ）当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，

等价于或或，解得，

所以不等式f(x)>1的解集为.   ……5分

（Ⅱ）由题设可得，， 

 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为.

由题设得＞6，解得.

所以的取值范围为（2，+∞）.      ……10分

 1．（2014·福建卷） (Ⅲ)选修4­5：不等式选讲

已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.

(1)求a的值；

(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.

2．（2014·广东卷）不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为        ．  | |k ]

【答案】(－∞，－3]∪[2，＋∞)　

【解析】本题考查绝对值不等式的解法．|x－1|＋|x＋2|≥5的几何意义是数轴上的点到1与－2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x≤－3或x≥2，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

3．(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝        ．

【答案】－3　

【解析】依题意可得－3＜ax－2＜3，即－1＜ax＜5 ，而－＜x＜，即－1＜－3x＜5，所以a＝－3.

4．[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

【答案】(1)C　

【解析】易知|x－1|＋|x|≥1，当且仅当0≤x≤1时等号成立；|y－1|＋|y＋1|≥2, 当且仅当－1≤y≤1时等号成立．故|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.