2019届二轮复习平面向量的运算（线性运算和坐标运算）学案（全国通用）
展开【考点剖析】
1.命题方向预测：
（1）平面向量的线性运算是考查重点．共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.
（2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.
2.课本结论总结：
（1）向量的有关概念
①向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.
②零向量：模为0的向量，记作，其方向为任意的，所以与任意向量平行，其性质有：=0，+=.
③单位向量：模为1个长度单位的向量，与方向相同的单位向量为.
④相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作=.
⑤相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，的相反向量为-，有-(- )= .
(2)向量的线性运算
向量运算 | 定义 | 法则(或几何意义) | 运算律 |
加法 | 求两个向量和的运算 | (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． | |
减法 | 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 | 三角形法则 | a－b＝a＋(－b) |
数乘 | 求实数λ与向量a的积的运算 | (1)|λa|＝|λ a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 | λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb |
(3) 平面向量基本定理
若、是平面内不共线的向量，向量是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对，使.
(4) 共线向量
①共线向量概念：若两个非零向量、的方向相同或相反，则称与共线，也叫与平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行.
① 共线向量定理：∥（≠）存在唯一实数，使得=.
② 若=（，），=（，），则∥-=0.
(5) 平面向量的基本运算
①若=（，），=（，），则±=（±，±），
=（，），
③ A（，），B（，），则=（-，-）.
3.名师二级结论：
（1）若A、B、C三点共线且，则=1.
（2）若向量不共线，，则
（3）C是线段AB中点的充要条件是.
(4)若，则线段AB的中点坐标为（）.
(4)G是△ABC的重心的充要条件为.
(5)若△ABC的三个顶点坐标分别为，则△ABC重心坐标为
(6)已知，且，则点C的坐标为.
4.考点交汇展示：
(1)三角函数交汇
【2018届广东省汕头市潮南区高考(5月)冲刺】已知
(1)若向量，，且∥，求的值.
(2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围
【答案】(1);(2).
【解析】
（1），
即，所以.
(2)与平面几何交汇
【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
(3)与基本不等式交汇
【黑龙江省2018年仿真模拟（八）】在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 12
【答案】D
【解析】
【考点分类】
考向一 平面向量的线性运算
1.【2018届云南省红河州统一检测】在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点.
故选
2.【黑龙江省2018年仿真模拟（十一）】设是内一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
3.【2018届四川省成都市第七中学三诊】已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【方法规律】
- 判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况：
（1） 零向量的方向及与其他向量的关系.
（2） 单位向量的长度与方向.
- 对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.
- 向量不能比较大小，但它的模可以比较大小
- 在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.
- 当是线段AB的中点时，则=是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.
- 当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.
【解题技巧】
1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．
3. 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
4. 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．
【易错点睛】
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
3. 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．
例1 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．
【错解】 设A(－1,0)，B (3,0)，C(1，－5)，D(x，y)．[2分]
因为四边形ABCD为平行四边形，则＝，而＝(x＋1，y)，＝(－2，－5)．
由＝，得∴∴D(－3，－5)，故第四个顶点坐标为（-3，-5）．
【错因分析】此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解．实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形．
【预防措施】认真阅读试题，分析满足条件的各种情况，若满足条件的情况有多种，需要分类讨论，分类讨论时，要做到不重不漏.
【正解】如图所示，设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，D(x，y)．[2分]
②若四边形ACD2B为平行四边形，则＝2.
而＝(4,0)，＝(x－1，y＋5)．∴∴∴D2(5，－5)．
③若四边形ACBD3为平行四边形，则＝.
而＝(x＋1，y)，＝(2,5)，∴∴∴D3(1,5)．
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)．
考向二 共线向量问题
1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则 ．
【答案】
2.【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】已知平面向量, , 且, 则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
3.【2018届河北省衡水中学押题卷四】设向量，是两个不共线的向量，若与共线，则实数 ．
【答案】
【解析】
由向量共线可得：，
所以：，解得
【方法规律】
- 向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.
- 对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
- 若A、B、C三点共线且，则=1.
【解题技巧】
1.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
2.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【易错点睛】
若＝()，＝(，)，则∥的充要条件不能表示成，因为，有可能等于0，所以应表示为.
例 已知,，且，求实数的值.
【错解】因为,，且，所以，解得=-3.
【错因分析】已知＝()，＝(，)，错误将当做∥的充要条件，因为，有可能等于0.
【预防措施】正确记忆和运用∥的充要条件，已知＝()，＝(，)，则∥的充要条件是＝0.
【正解】因为,，且，∴，解得=-3或=0.
【热点预测】
1．【山东省2018年普通高校招生（春季）】在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为A(2,2),B(1,1)，所以
选D.
2.【2018届海南省琼海市高考模拟】若，，，则以、为基底表示的等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
3．【2018届广东省佛山市南海区南海中学考前七校联合体冲刺】庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以，，，，为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
4．【2018届广东省汕头市潮南区高考(5月)冲刺】设P是所在平面内的一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
移项得.故选B
5．【黑龙江省2018年仿真模拟(一)】点为的重心（三角形三边中线的交点），设，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意知，
+=，
即+=，
故=﹣2=﹣2，
故选：D．
6．【2018届安徽省安庆市第一中学高考热身】平行四边形中，是的中点，若，则( )
A． B． 2 C． D．
【答案】D
【解析】
7．【2018届四川省宜宾县第二中学校高考适应性考试】如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则= （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，在中，是边上的中线，所以,
又因为为的中点，所以,
所以，故选B.
8．【2018届河南省最后一次模拟】在平面直角坐标系中,已知三点,为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
9.【2018届广东省佛山市南海区南海中学考前七校联合体高考冲刺】设向量，，若向量与同向，则 ；
【答案】2.
【解析】
向量与同向
解得
向量与同向，则
故答案为
10．【黑龙江省2018年仿真模拟(二)】已知向量，，若，则 ．
【答案】0.
【解析】
11．【2019届湖北省部分重点中学高三开学】如图所示，圆及其内接正八边形．已知，，点为正八边形边上任意一点， ，、，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】
由题意可知，当取最大值时，P点应位于劣弧 上
以OB所在直线为x轴，以O为原点建立平面直角坐标系，设圆半径为1
则
当P点位于y轴上时， ，此时
所以 解得
12．【2018届炎德英才大联考长沙市一中第七次月考】已知，若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】
13.【2018届宁夏回族自治区银川一中考前适应性训练】已知△的边的三等分点分别为,，若线段上一点满足： ，则的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】
因为，且B,C,G共线，所以，
因为在线段上，所以，
因此
14.【2018届江苏省南通市最后一卷】如图，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于点，与轴交于点，设，求证：为定值.
【答案】证明见解析.
【解析】
当与轴垂直时，此时点与点重合，
从而，，.
当点与点不重合时，直线的斜率存在.
设直线的方程为，，，
则.
由题设，得，即.
所以
将代入，得，
则，，，
所以
综上，为定值.
