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2019届二轮复习专题07不等式学案（全国通用）
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【基本知识通关】
1．比较两个实数大小的方法
（1）作差法
（2）作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥1）
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>（n∈N，n≥2）
3.不等式的一些常用性质
（1）倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.②a<0b>0,0.④0
若a>b>0，m>0，则：①<；>（b－m>0）．②>；<（b－m>0）．
4.比较大小的常用方法
差值比较
商值比较
原理
设a，b∈R，则
a>b⇔a－b>0，
a＝b⇔a－b＝0，
a
>1⇔a>b，
＝1⇔a＝b，
<1⇔a
①作差并变形；②判断差的符号；③下结论
①作商并变形；②判断商与1的大小；③下结论
注意
事项
只要判断差的符号（正负号），至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式
作商时结果与“1”比较大小，注意分母的正负，如果a，b均小于0，所得结论与“商值比较原理”中的结论相反
解题
关键
利用通分、因式分解、配方等变形，变形是为了更有利于判断符号
利用分母（或分子）有理化、指数恒等变换、对数恒等变换等变形
5.不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
（1）利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
（2）与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
（3）与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
【知识应用通关】
1.设a，b∈[0，＋∞），A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是（ ）
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
【答案】B
【解析】由题意得，A2－B2＝2≥0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2.若a
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
3.若x>y>1,0by
【答案】C
【解析】易知函数y＝ax（0y>1,0
A． x > y B．x2>y2
C.> D．x3>y3
【答案】C
【解析】由 x > y ，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C. 学
考点（二） 一元二次不等式
【基本知识通关】
1．三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根
有两个相异实根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集
{x2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集
{ 1＜x＜x2}
∅
∅
2.不等式ax2＋bx＋c>0（<0）恒成立的条件
（1）不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
（2）不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
3.解一元二次不等式的方法和步骤
4.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
（1）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
（2）当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
【知识应用通关】
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（α，β）（α>0），则不等式cx2＋bx＋a>0的解集为（ ）
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（α，β），所以a<0且α＋β＝－，αβ＝.所以不等式cx2＋bx＋a>0可化为αβx2－（α＋β）x＋1<0，所以（αx－1）（βx－1）<0，即<0，所以不等式的解集是
2.已知关于x的不等式 x2－6 x＋ ＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．[0,1
B．（0,1
C．（－∞，0）∪（1，＋∞）
D．（－∞，0 ∪[1，＋∞）
【答案】A
3.不等式≤x－2的解集是（ ）
A．（－∞，0 ∪（2,4 B．[0,2）∪[4，＋∞）
C．[2,4） D．（－∞，2）∪（4，＋∞）
【答案】B
【解析】将原不等式移项通分得≤0，于是原不等式等价于或解得x≥4或0≤x<2.故选B.
4.若不等式x2－（a＋1）x＋a≤0的解集是[－4,3 的子集，则a的取值范围是（ ）
A．[－4,1 B．[－4,3 学
C．[1,3 D．[－1,3
【答案】B
【解析】原不等式为（x－a）（x－1）≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1 ，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a ，此时只要a≤3即可，即1
【答案】（－∞，2）∪（4，＋∞）
【解析】将原不等式整理为形式上是关于a的不等式（x－3）a＋x2－6x＋9>0.令f（a）＝（x－3）a＋x2－6x＋9.因为f（a）>0在 a ≤1时恒成立，所以①若x＝3，则f（a）＝0，不符合题意，应舍去．②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即解得x<2或x>4.
第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
考点（一） 二元一次不等式（组）表示的平面区域
【基本知识通关】
1．二元一次不等式（组）表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.确定二元一次不等式（组）表示平面区域的步骤
以上简称为 “直线定界，特殊点定域”．
3.解决求平面区域面积问题的方法步骤
（1）画出不等式组表示的平面区域；
（2）判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长（三角形的高、四边形的高）等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
[提醒 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
【知识应用通关】
1．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数 的值为（ ）
A．1 B．－1 学
C．0 D．－2
【答案】A
【解析】先作出不等式组
对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形，当 ＝0时，此时三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立．当 ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当 ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A.
2．若满足条件的整点（x，y）恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（ ）
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
【答案】C
3．不等式组 表示的平面区域的面积为________．
【答案】4
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×（2＋2）＝4.
考点（二） 简单的线性规划问题
【基本知识通关】
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式（组）
线性约束条件
由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）
目标函数
关于x，y的函数解析式，如 ＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解 学
满足线性约束条件的解（x，y）
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2．简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即
3.求解线性目标函数最值的常用方法
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值． 学
4.非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
距离
平方型
目标函数为 ＝（x－a）2＋（y－b）2时，可转化为可行域内的点（x，y）与点（a，b）之间的距离的平方求解
斜率型
对形如 ＝（ac≠0）型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为 ＝·的形式，将问题化为求可行域内的点（x，y）与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等
点到直线
距离型
对形如 ＝ Ax＋By＋C 型的目标函数，可先变形为 ＝·的形式，将问题化为求可行域内的点（x，y）到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值
5.求解线性规划中含参问题的两种基本方法
（1）把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；
（2）先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
【知识应用通关】
1.已知x，y满足则 ＝4x－y的最小值为（ ）
A．4 B．6
C．12 D．16
【答案】B
2.设x，y满足约束条件则的取值范围是（ ）
A．[1,5 B．[2,6
C．[2,10 D．[3,11
【答案】D
【解析】设 ＝＝＝1＋2·，设 ′＝，则 ′的几何意义为动点P（x，y）到定点D（－1，－1）的斜率，画出可行域如图中阴影部分所示，易得 ′∈[ DA， DB ，则 ′∈[1,5 ，∴ ＝1＋2· ′∈[3,11 ．
3.设实数x，y满足则 ＝y－4x的取值范围是________； ＝y－4 x 的取值范围是________．
【答案】[－6,24 [－8,4
4.若实数x，y满足则x2＋y2的最小值是________．
【答案】 学
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵x2＋y2表示可行域内任意一点P（x，y）与原点（0,0）距离的平方，∴当P在线段AB上且OP⊥AB时，x2＋y2取得最小值，∴（x2＋y2）min＝2＝.
5.已知约束条件若目标函数 ＝x＋ay（a≥0）恰好在点（2,2）处取到最大值，则a的取值范围为________．
【答案】
考点（三） 线性规划的实际应用
【基本知识通关】
1.解线性规划应用题的一般步骤
2.求解线性规划应用题的三个注意点
（1）明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
（2）注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等． 学
（3）正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
【知识应用通关】
1．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为（ ）
A．11 280元 B．12 480元
C．10 280元 D．11 480元
【答案】B
2．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
【答案】D
第三节 基本不等式
考点（一） 利用基本不等式求最值
【基本知识通关】
1．基本不等式：≤
（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： .
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小）
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大）
5.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
6.通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
7.通过消元法利用基本不等式求最值的方法 学
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．对于一些多元函数求最值的问题，解决方法是消元拼凑后利用基本不等式求解．
【知识应用通关】
1.已知函数y＝x－4＋（x＞－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（ ）
A．－3 B．2
C．3 D．8
【答案】C
2.已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为（ ）
A．4 B．2
C. D．16
【答案】C
【解析】∵m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋＝（2m＋n）＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C.
3.若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为（ ）
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
【答案】D
4.已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为（ ）
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
【答案】D
【解析】∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，
∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，
则a＋2b＝＋2b
＝1＋＋2（b－2）＋4
≥5＋2 ＝9，
当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9.
考点（二） 基本不等式的综合问题
【基本知识通关】
1.利用基本不等式求解实际应用题的方法
（1）此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 学
2.求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解．
（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
【知识应用通关】
1.已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】B
2.若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为（ ）
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】因为圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.则t＝a＝·（2a）·≤××＝·[8a2＋1＋2（4－4a2） ＝，当且仅当时等号成立，此时a＝，故选D.
3.已知变量x，y满足约束条件若 ＝ax＋by（a>0，b>0）的最小值为2，则ab的最大值为（ ）
A．1 B．
C. D．
【答案】D
4.已知函数f（x）＝ln（x＋），若正实数a，b满足f（2a）＋f（b－1）＝0，则＋的最小值是________．
【答案】3＋2
【解析】f（x）＝ln（x＋）的定义域为R，且f（x）＋f（－x）＝ln（x＋）＋ln（－x＋）＝ln（x2＋1－x2）＝0，
所以若f（2a）＋f（b－1）＝0，则一定有2a＋b－1＝0即2a＋b＝1.
故＋＝＋＝2＋＋＋1.
又a>0，b>0，
所以＋≥2，当且仅当b＝a时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2.
5.某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x台（x为正整数），则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7 800元．
（1）求全年所付运费和保管费之和y关于x的函数关系式；
（2）若全年只有8 000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？
【答案】（1）y＝＋120 x（x∈N ）（2）当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7 200元，此时资金够用. 学
【基本知识通关】
1．比较两个实数大小的方法
（1）作差法
（2）作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥1）
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>（n∈N，n≥2）
3.不等式的一些常用性质
（1）倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.②a<0
若a>b>0，m>0，则：①<；>（b－m>0）．②>；<（b－m>0）．
4.比较大小的常用方法
差值比较
商值比较
原理
设a，b∈R，则
a>b⇔a－b>0，
a＝b⇔a－b＝0，
a
>1⇔a>b，
＝1⇔a＝b，
<1⇔a
①作差并变形；②判断差的符号；③下结论
①作商并变形；②判断商与1的大小；③下结论
注意
事项
只要判断差的符号（正负号），至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式
作商时结果与“1”比较大小，注意分母的正负，如果a，b均小于0，所得结论与“商值比较原理”中的结论相反
解题
关键
利用通分、因式分解、配方等变形，变形是为了更有利于判断符号
利用分母（或分子）有理化、指数恒等变换、对数恒等变换等变形
5.不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
（1）利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
（2）与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
（3）与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
【知识应用通关】
1.设a，b∈[0，＋∞），A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是（ ）
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
【答案】B
【解析】由题意得，A2－B2＝2≥0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2.若a
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
3.若x>y>1,0
【答案】C
【解析】易知函数y＝ax（0
A． x > y B．x2>y2
C.> D．x3>y3
【答案】C
【解析】由 x > y ，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C. 学
考点（二） 一元二次不等式
【基本知识通关】
1．三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根
有两个相异实根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集
{
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集
{ 1＜x＜x2}
∅
∅
2.不等式ax2＋bx＋c>0（<0）恒成立的条件
（1）不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
（2）不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
3.解一元二次不等式的方法和步骤
4.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
（1）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
（2）当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
【知识应用通关】
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（α，β）（α>0），则不等式cx2＋bx＋a>0的解集为（ ）
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（α，β），所以a<0且α＋β＝－，αβ＝.所以不等式cx2＋bx＋a>0可化为αβx2－（α＋β）x＋1<0，所以（αx－1）（βx－1）<0，即<0，所以不等式的解集是
2.已知关于x的不等式 x2－6 x＋ ＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．[0,1
B．（0,1
C．（－∞，0）∪（1，＋∞）
D．（－∞，0 ∪[1，＋∞）
【答案】A
3.不等式≤x－2的解集是（ ）
A．（－∞，0 ∪（2,4 B．[0,2）∪[4，＋∞）
C．[2,4） D．（－∞，2）∪（4，＋∞）
【答案】B
【解析】将原不等式移项通分得≤0，于是原不等式等价于或解得x≥4或0≤x<2.故选B.
4.若不等式x2－（a＋1）x＋a≤0的解集是[－4,3 的子集，则a的取值范围是（ ）
A．[－4,1 B．[－4,3 学
C．[1,3 D．[－1,3
【答案】B
【解析】原不等式为（x－a）（x－1）≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1 ，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a ，此时只要a≤3即可，即1
【答案】（－∞，2）∪（4，＋∞）
【解析】将原不等式整理为形式上是关于a的不等式（x－3）a＋x2－6x＋9>0.令f（a）＝（x－3）a＋x2－6x＋9.因为f（a）>0在 a ≤1时恒成立，所以①若x＝3，则f（a）＝0，不符合题意，应舍去．②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即解得x<2或x>4.
第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
考点（一） 二元一次不等式（组）表示的平面区域
【基本知识通关】
1．二元一次不等式（组）表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.确定二元一次不等式（组）表示平面区域的步骤
以上简称为 “直线定界，特殊点定域”．
3.解决求平面区域面积问题的方法步骤
（1）画出不等式组表示的平面区域；
（2）判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长（三角形的高、四边形的高）等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
[提醒 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
【知识应用通关】
1．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数 的值为（ ）
A．1 B．－1 学
C．0 D．－2
【答案】A
【解析】先作出不等式组
对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形，当 ＝0时，此时三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立．当 ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当 ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A.
2．若满足条件的整点（x，y）恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（ ）
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
【答案】C
3．不等式组 表示的平面区域的面积为________．
【答案】4
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×（2＋2）＝4.
考点（二） 简单的线性规划问题
【基本知识通关】
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式（组）
线性约束条件
由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）
目标函数
关于x，y的函数解析式，如 ＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解 学
满足线性约束条件的解（x，y）
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2．简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即
3.求解线性目标函数最值的常用方法
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值． 学
4.非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
距离
平方型
目标函数为 ＝（x－a）2＋（y－b）2时，可转化为可行域内的点（x，y）与点（a，b）之间的距离的平方求解
斜率型
对形如 ＝（ac≠0）型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为 ＝·的形式，将问题化为求可行域内的点（x，y）与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等
点到直线
距离型
对形如 ＝ Ax＋By＋C 型的目标函数，可先变形为 ＝·的形式，将问题化为求可行域内的点（x，y）到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值
5.求解线性规划中含参问题的两种基本方法
（1）把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；
（2）先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
【知识应用通关】
1.已知x，y满足则 ＝4x－y的最小值为（ ）
A．4 B．6
C．12 D．16
【答案】B
2.设x，y满足约束条件则的取值范围是（ ）
A．[1,5 B．[2,6
C．[2,10 D．[3,11
【答案】D
【解析】设 ＝＝＝1＋2·，设 ′＝，则 ′的几何意义为动点P（x，y）到定点D（－1，－1）的斜率，画出可行域如图中阴影部分所示，易得 ′∈[ DA， DB ，则 ′∈[1,5 ，∴ ＝1＋2· ′∈[3,11 ．
3.设实数x，y满足则 ＝y－4x的取值范围是________； ＝y－4 x 的取值范围是________．
【答案】[－6,24 [－8,4
4.若实数x，y满足则x2＋y2的最小值是________．
【答案】 学
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵x2＋y2表示可行域内任意一点P（x，y）与原点（0,0）距离的平方，∴当P在线段AB上且OP⊥AB时，x2＋y2取得最小值，∴（x2＋y2）min＝2＝.
5.已知约束条件若目标函数 ＝x＋ay（a≥0）恰好在点（2,2）处取到最大值，则a的取值范围为________．
【答案】
考点（三） 线性规划的实际应用
【基本知识通关】
1.解线性规划应用题的一般步骤
2.求解线性规划应用题的三个注意点
（1）明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
（2）注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等． 学
（3）正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
【知识应用通关】
1．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为（ ）
A．11 280元 B．12 480元
C．10 280元 D．11 480元
【答案】B
2．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
【答案】D
第三节 基本不等式
考点（一） 利用基本不等式求最值
【基本知识通关】
1．基本不等式：≤
（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： .
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小）
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大）
5.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
6.通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
7.通过消元法利用基本不等式求最值的方法 学
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．对于一些多元函数求最值的问题，解决方法是消元拼凑后利用基本不等式求解．
【知识应用通关】
1.已知函数y＝x－4＋（x＞－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（ ）
A．－3 B．2
C．3 D．8
【答案】C
2.已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为（ ）
A．4 B．2
C. D．16
【答案】C
【解析】∵m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋＝（2m＋n）＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C.
3.若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为（ ）
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
【答案】D
4.已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为（ ）
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
【答案】D
【解析】∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，
∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，
则a＋2b＝＋2b
＝1＋＋2（b－2）＋4
≥5＋2 ＝9，
当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9.
考点（二） 基本不等式的综合问题
【基本知识通关】
1.利用基本不等式求解实际应用题的方法
（1）此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 学
2.求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解．
（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
【知识应用通关】
1.已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】B
2.若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为（ ）
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】因为圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.则t＝a＝·（2a）·≤××＝·[8a2＋1＋2（4－4a2） ＝，当且仅当时等号成立，此时a＝，故选D.
3.已知变量x，y满足约束条件若 ＝ax＋by（a>0，b>0）的最小值为2，则ab的最大值为（ ）
A．1 B．
C. D．
【答案】D
4.已知函数f（x）＝ln（x＋），若正实数a，b满足f（2a）＋f（b－1）＝0，则＋的最小值是________．
【答案】3＋2
【解析】f（x）＝ln（x＋）的定义域为R，且f（x）＋f（－x）＝ln（x＋）＋ln（－x＋）＝ln（x2＋1－x2）＝0，
所以若f（2a）＋f（b－1）＝0，则一定有2a＋b－1＝0即2a＋b＝1.
故＋＝＋＝2＋＋＋1.
又a>0，b>0，
所以＋≥2，当且仅当b＝a时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2.
5.某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x台（x为正整数），则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7 800元．
（1）求全年所付运费和保管费之和y关于x的函数关系式；
（2）若全年只有8 000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？
【答案】（1）y＝＋120 x（x∈N ）（2）当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7 200元，此时资金够用. 学
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