2019届二轮复习专题07不等式学案（全国通用）


【基本知识通关】
1．比较两个实数大小的方法
（1）作差法
（2）作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔bb，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒acb＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥1）
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>（n∈N，n≥2）
3.不等式的一些常用性质
（1）倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1,0y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C. 学

考点（二）　一元二次不等式　
【基本知识通关】
1．三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象



一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根
有两个相异实根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集
{ x2}

R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集
{ 1＜x＜x2}
∅
∅
2.不等式ax2＋bx＋c>0（0对任意实数x恒成立⇔或
（2）不等式ax2＋bx＋c0的解集为（α，β）（α>0），则不等式cx2＋bx＋a>0的解集为（　　）
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（α，β），所以a0可化为αβx2－（α＋β）x＋10，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： .
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小）
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大）
5.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　
6.通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．　　
7.通过消元法利用基本不等式求最值的方法 学
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．对于一些多元函数求最值的问题，解决方法是消元拼凑后利用基本不等式求解．　　
【知识应用通关】
1.已知函数y＝x－4＋（x＞－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（　　）
A．－3 B．2
C．3 D．8
【答案】C

2.已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为（　　）
A．4 B．2
C. D．16
【答案】C
【解析】∵m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋＝（2m＋n）＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C.
3.若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为（　　）
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
【答案】D

4.已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为（　　）
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
【答案】D
【解析】∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，
∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，
则a＋2b＝＋2b
＝1＋＋2（b－2）＋4
≥5＋2 ＝9，
当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9.

考点（二）　基本不等式的综合问题　
【基本知识通关】
1.利用基本不等式求解实际应用题的方法
（1）此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．　　 学
2.求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解．
（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．　　
【知识应用通关】
1.已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】B

2.若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为（　　）
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】因为圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.则t＝a＝·（2a）·≤××＝·[8a2＋1＋2（4－4a2） ＝，当且仅当时等号成立，此时a＝，故选D.
3.已知变量x，y满足约束条件若 ＝ax＋by（a>0，b>0）的最小值为2，则ab的最大值为（　　）
A．1 B．
C. D．
【答案】D


4.已知函数f（x）＝ln（x＋），若正实数a，b满足f（2a）＋f（b－1）＝0，则＋的最小值是________．
【答案】3＋2
【解析】f（x）＝ln（x＋）的定义域为R，且f（x）＋f（－x）＝ln（x＋）＋ln（－x＋）＝ln（x2＋1－x2）＝0，
所以若f（2a）＋f（b－1）＝0，则一定有2a＋b－1＝0即2a＋b＝1.
故＋＝＋＝2＋＋＋1.
又a>0，b>0，
所以＋≥2，当且仅当b＝a时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2.
5.某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x台（x为正整数），则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7 800元．
（1）求全年所付运费和保管费之和y关于x的函数关系式；
（2）若全年只有8 000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？
【答案】（1）y＝＋120 x（x∈N ）（2）当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7 200元，此时资金够用. 学