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2019届二轮复习专题08立体几何学案（全国通用）
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考点（一） 空间几何体的三视图和直观图
【基本知识通关】
1．空间几何体的结构特征
（1）多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台
（2）旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形任一边所在的直线学
圆锥
直角三角形
一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点的连线
球
半圆或圆
直径所在的直线
2.空间几何体的三视图
（1）三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
（2）三视图的画法
①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
（1）原图形中x轴、y轴、 轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°， ′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
4.解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
（1）把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；
（2）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如例1中的命题②④易判断失误；
（3）通过反例对结构特征进行辨析．
5.画三视图的规则
长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽．
6．三视图的排列顺序
先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右方．
7.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
（1）S直观图＝S原图形．
（2）S原图形＝2S直观图．
【知识应用通关】
1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是（ ）
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
【答案】B
2.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ）
【答案】B
【解析】俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.
3.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）
【答案】C
4.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为（ ）
A．4 cm2 B．4 cm2
C．8 cm2 D．8 cm2
【答案】C
【解析】依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） 学
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
考点（二） 空间几何体的表面积与体积
【基本知识通关】
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π（r＋r′）l
圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r′）lS圆锥侧＝πrl.
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体（棱柱和圆柱）
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体（棱锥和圆锥）
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体（棱台和圆台）
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝（S上＋S下＋）h
球
S＝4πR2
V＝πR3
3.求空间几何体表面积的常见类型及思路
求多面体
的表面积
只需将它们沿着棱 “剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体
的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则
几何体的
表面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
4.柱体、锥体、台体体积间的关系
5.求空间几何体体积的常见类型及思路
规则
几何体
若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法
不规则
几何体
若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解
三视图
形式
若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 学
【知识应用通关】
1.某几何体的三视图如图所示（在 格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】A
2.如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π
C．5π D．12π
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，其表面积为2π＋π＝3π.选A.
3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3
【答案】A
4.如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．
【答案】（2＋3）π
5．[考点二 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸）：若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x的值为________．
【答案】1.6
【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得（5.4－x）×3×1＋π×2x＝12.6，解得x＝1.6.
考点（三） 与球有关的切、接应用问题
【基本知识通关】
1.与球有关外接问题的解题规律
（1）直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.
（2）正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．
（3）求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 学
【知识应用通关】
1.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．200π B．150π
C．100π D．50π
【答案】D
2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝＝＝2，故选B.
3.三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若球O与三棱柱ABC A1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为（ ）
A. B.
C．1 D.
【答案】C
【解析】选C 因为球O与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA1的长等于球的直径．设球的半径为R，则球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中心，如图所示．因为AC＝，所以AD＝AC＝.因为tan ＝，所以球的半径R＝MD＝ADtan＝××1＝，所以AA1＝2R＝2×＝1.
4.三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．5π B.π
C．20π D．4π
【答案】A
5.已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选D 依题意，记三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VPABC＝S△ABCh＝××h＝得h＝.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h＝.又正△ABC的外接圆半径为r＝＝，因此R2＝r2＋2＝，所以三棱锥PABC的外接球的表面积为4πR2＝，故选D.
第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考点（一） 平面的基本性质
【基本知识通关】
1．公理1 3
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
2．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
3．证明点共线问题的常用方法
公理法
先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上
4.证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
5．证明点、直线共面问题的常用方法
纳入
平面法
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助
平面法
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合
【知识应用通关】
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是（ ）
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【答案】D
【解析】选D 画出正方体，结合共面的公理与推论求得选D.
2．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
【答案】D
【解析】选D A、B、C图中四点一定共面，D中四 点不共面．
3．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3 B．至多等于4
C．等于5 D．大于5
【答案】B
4．以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】选B ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．
5.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：E，C，D1，F四点共面． 学
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1， 学
所以EF与CD1确定一个平面α，
所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．
考点（二） 空间两直线的位置关系
【基本知识通关】
1．空间中两直线的位置关系
（1）空间中两直线的位置关系
（2）公理4和等角定理
①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2．异面直线所成的角
（1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（2）范围：.
3.判断空间两直线位置关系的思路方法
（1）判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
（2）异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
4.求异面直线所成的角时常利用定义，先将两直线平移，使其共面，再求角
常用的平移方法有：
（1）利用图中已有的平行线平移；
（2）利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；
（3）补形平移．
5.用平移法求异面直线所成的角的步骤
一作
即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证
即证明作出的角是异面直线所成的角
三求
解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
【知识应用通关】
1. l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】A
2.正四棱台中，A′D′所在的直线与BB′所在的直线是（ ）
A．相交直线
B．平行直线
C．不互相垂直的异面直线
D．互相垂直的异面直线
【答案】C
【解析】选C 结合图形和棱台性质易排除A，B，D.故选C.
3.设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
【答案】B
【解析】选B 对于A，在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，只要m⊄α，过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；对于D，与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B.
4.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
5．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中．
（1）求A1C1与B1C所成角的大小；
（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
【答案】（1）60°（2）90°
【解析】（1）如图，连接AC、AB1，
由ABCD A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，
所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°. 学 ……
（2）如图，连接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四边形，∴AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴EF⊥AC，即所求角为90°.
第三节 直线、平面平行的判定与性质
考点（一） 直线与平面平行的判定与性质
【基础知识通关】
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行）
l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行⇒线线平行）
l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b
2.判定线面平行的四种方法
（1）利用线面平行的定义（无公共点）；
（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；
（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；
（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．
【知识应用通关】
1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BDM于GH.
求证：PA∥GH.
【答案】证明：如图所示，连接AC交BD于点O，
连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM. 学
又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
且PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.
2.（2018·长沙模拟）如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC＝，AB＝2.
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求此六面体的体积．
【答案】（1）作DF⊥AB交AB于点F，连接CF，
因为平面ABC⊥平面ABD， 学
所以DF⊥平面ABC，
又EC⊥平面ABC，
所以DF∥EC.
因为△ABD是边长为2的等边三角形，
所以DF＝，
因此DF＝EC，
于是四边形DECF为平行四边形，
所以DE∥CF，又CF⊂平面ABC，DE⊄平面ABC， 学
因此DE∥平面ABC.
（2）2
（2）因为△ABD是等边三角形，
所以F是AB的中点，
而△ABC是等边三角形，
因此CF⊥AB，
考点（二） 平面与平面平行的判定与性质
【基础知识通关】
1.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）
a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
2.判定面面平行的四种方法
（1）利用定义：即证两个平面没有公共点（不常用）．
（2）利用面面平行的判定定理（主要方法）．
（3）利用垂直于同一条直线的两平面平行（客观题可用）．
（4）利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（客观题可用）．
【知识应用通关】
1.如图，在三棱锥S ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
学
求证：（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA.
【答案】证明：（1）因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.同理，EG∥平面ABC.
又因为EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，且AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
2．已知，平面α∥平面β，AB，CD夹在α，β之间，A，C∈α，B，D∈β，E，F分别为AB，CD的中点，求证：EF∥α，EF∥β.
【答案】证明：当AB和CD共面时，经过AB，CD的平面与α，β分别交于AC，BD.
∵α∥β，∴AC∥BD.
又∵AE＝EB，CF＝FD，∴EF∥AC.
∵AC⊂α，EF⊄α，∴EF∥α，同理EF∥β.
当AB和CD异面时，如图在CD与E所确定的平面内，过点E作C′D′∥CD与α，β分别交于点C′，D′.
经过相交直线AB和C′D′作平面分别交α，β于AC′，BD′.
∵α∥β，∴AC′∥BD′，又AE＝EB，
∴C′E＝ED′，
∵C′D′∥CD，
∴经过C′D′和CD作平面与α，β分别交于C′C 和D′D.
∵α∥β，∴C′C∥D′D.
在平行四边形C′D′DC中，
∵C′E＝ED′，CF＝FD，∴EF∥D′D.
∵D′D⊂β，EF⊄β，∴EF∥β，同理EF∥α.
∵α∥β，∴AC′∥BD′，又AE＝EB，
∴C′E＝ED′，
∵C′D′∥CD，
∴经过C′D′和CD作平面与α，β分别交于C′C 和D′D.
∵α∥β，∴C′C∥D′D.
在平行四边形C′D′DC中，
∵C′E＝ED′，CF＝FD，∴EF∥D′D.
∵D′D⊂β，EF⊄β，∴EF∥β，同理EF∥α.
第四节 直线、平面垂直的判定与性质
考点（一） 直线、平面垂直的判定与性质
【基础知识通关】
1．直线与平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
（2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.平面与平面垂直
（1）平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
3.证明直线与平面垂直的方法
（1）定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面（不常用）；
（2）判定定理（常用方法）；
（3）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面（客观题常用）；
（4）若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面（客观题常用）；
（5）若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面（常用方法）;
（6）若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面（客观题常用）．
4.面面垂直判定的两种方法与一个转化
两种方法
（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）
一个转化
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直
【知识应用通关】
1.已知四棱锥P ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别为BC，PD的中点，PA＝AB＝2.
（1）证明：AE⊥平面PAD；
（2）求多面体PAECF的体积．
【答案】（1）（1）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AE.
由底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°得，△ABC为等边三角形，
又E为BC的中点，得AE⊥BC，所以AE⊥AD.
因为PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.
（2）多面体PAECF的体积V＝＋＝.
2．如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
【答案】证明：（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以平面ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
（3）因为AB⊥AD，而且平面ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD. 学
所以BE∥平面PAD.
（3）因为AB⊥AD，而且平面ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥底面ABCD，
考点（二） 平行与垂直的综合问题
【基础知识通关】
1．平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．
2．垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 学
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
3.解决探索性问题的基本方法
（1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在． 学 .
（2）探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用．
4.求解翻折问题的关键及注意事项
求解平面图形翻折问题的关键是弄清原有的性质变化与否，即翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．应注意：
（1）点的变化，点与点的重合及点的位置变化；
（2）线的变化，翻折前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化；
（3）长度、角度等几何度量的变化．
【知识应用通关】
1.如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
【答案】证明：（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC⊂平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，
所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC，
所以AD⊥AC.
所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF. 学
（1）求证：NC∥平面MFD；
（2）若EC＝3，求证：ND⊥FC；
（3）求四面体NEFD体积的最大值．
【答案】（1）证明：∵平行四边形MNEF和EFDC都是矩形，
∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，∴MN∥CD.
∴四边形MNCD是平行四边形．
∴NC∥MD.
∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，
∴NC∥平面MFD.
（2）证明：连接ED，交FC于点O，如图所示．
∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE⊂平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.
∵FC⊂平面ECDF，∴FC⊥NE.
∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.
又∵ED∩NE＝E，ED，NE⊂平面NED，
∴FC⊥平面NED.
∵ND⊂平面NED，∴ND⊥FC.
（3）2
3．如图，已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（1）证明：MN∥平面AA′C′C；
（2）设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．
【答案】（1）证明：如图，
取A′B′的中点E，连接ME，NE.
因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.
又A′C′⊂平面AA′C′C，A′A⊂平面AA′C′C，
所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，
所以平面MNE∥平面AA′C′C，
因为MN⊂平面MNE，
所以MN∥平面AA′C′C.
（2）连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，
由题意知BC＝λa，CN＝BN＝，
因为三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，
所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，
因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，
所以A′B′＝A′C′，A′N⊥B′C′，
所以A′N⊥平面BB′C′C，
所以CN⊥A′N，
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
所以CN2＋BN2＝BC2，
即2＝2λ2a2，
解得λ＝，故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.
【解析】（1）证明：如图，
考点（一） 空间几何体的三视图和直观图
【基本知识通关】
1．空间几何体的结构特征
（1）多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台
（2）旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形任一边所在的直线学
圆锥
直角三角形
一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点的连线
球
半圆或圆
直径所在的直线
2.空间几何体的三视图
（1）三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
（2）三视图的画法
①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
（1）原图形中x轴、y轴、 轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°， ′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
4.解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
（1）把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；
（2）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如例1中的命题②④易判断失误；
（3）通过反例对结构特征进行辨析．
5.画三视图的规则
长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽．
6．三视图的排列顺序
先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右方．
7.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
（1）S直观图＝S原图形．
（2）S原图形＝2S直观图．
【知识应用通关】
1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是（ ）
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
【答案】B
2.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ）
【答案】B
【解析】俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.
3.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）
【答案】C
4.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为（ ）
A．4 cm2 B．4 cm2
C．8 cm2 D．8 cm2
【答案】C
【解析】依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） 学
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
考点（二） 空间几何体的表面积与体积
【基本知识通关】
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π（r＋r′）l
圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r′）lS圆锥侧＝πrl.
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体（棱柱和圆柱）
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体（棱锥和圆锥）
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体（棱台和圆台）
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝（S上＋S下＋）h
球
S＝4πR2
V＝πR3
3.求空间几何体表面积的常见类型及思路
求多面体
的表面积
只需将它们沿着棱 “剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体
的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则
几何体的
表面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
4.柱体、锥体、台体体积间的关系
5.求空间几何体体积的常见类型及思路
规则
几何体
若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法
不规则
几何体
若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解
三视图
形式
若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 学
【知识应用通关】
1.某几何体的三视图如图所示（在 格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】A
2.如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π
C．5π D．12π
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，其表面积为2π＋π＝3π.选A.
3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3
【答案】A
4.如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．
【答案】（2＋3）π
5．[考点二 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸）：若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x的值为________．
【答案】1.6
【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得（5.4－x）×3×1＋π×2x＝12.6，解得x＝1.6.
考点（三） 与球有关的切、接应用问题
【基本知识通关】
1.与球有关外接问题的解题规律
（1）直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.
（2）正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．
（3）求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 学
【知识应用通关】
1.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．200π B．150π
C．100π D．50π
【答案】D
2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝＝＝2，故选B.
3.三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若球O与三棱柱ABC A1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为（ ）
A. B.
C．1 D.
【答案】C
【解析】选C 因为球O与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA1的长等于球的直径．设球的半径为R，则球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中心，如图所示．因为AC＝，所以AD＝AC＝.因为tan ＝，所以球的半径R＝MD＝ADtan＝××1＝，所以AA1＝2R＝2×＝1.
4.三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．5π B.π
C．20π D．4π
【答案】A
5.已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选D 依题意，记三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VPABC＝S△ABCh＝××h＝得h＝.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h＝.又正△ABC的外接圆半径为r＝＝，因此R2＝r2＋2＝，所以三棱锥PABC的外接球的表面积为4πR2＝，故选D.
第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考点（一） 平面的基本性质
【基本知识通关】
1．公理1 3
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
2．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
3．证明点共线问题的常用方法
公理法
先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上
4.证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
5．证明点、直线共面问题的常用方法
纳入
平面法
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助
平面法
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合
【知识应用通关】
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是（ ）
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【答案】D
【解析】选D 画出正方体，结合共面的公理与推论求得选D.
2．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
【答案】D
【解析】选D A、B、C图中四点一定共面，D中四 点不共面．
3．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3 B．至多等于4
C．等于5 D．大于5
【答案】B
4．以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】选B ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．
5.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：E，C，D1，F四点共面． 学
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1， 学
所以EF与CD1确定一个平面α，
所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．
考点（二） 空间两直线的位置关系
【基本知识通关】
1．空间中两直线的位置关系
（1）空间中两直线的位置关系
（2）公理4和等角定理
①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2．异面直线所成的角
（1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（2）范围：.
3.判断空间两直线位置关系的思路方法
（1）判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
（2）异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
4.求异面直线所成的角时常利用定义，先将两直线平移，使其共面，再求角
常用的平移方法有：
（1）利用图中已有的平行线平移；
（2）利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；
（3）补形平移．
5.用平移法求异面直线所成的角的步骤
一作
即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证
即证明作出的角是异面直线所成的角
三求
解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
【知识应用通关】
1. l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】A
2.正四棱台中，A′D′所在的直线与BB′所在的直线是（ ）
A．相交直线
B．平行直线
C．不互相垂直的异面直线
D．互相垂直的异面直线
【答案】C
【解析】选C 结合图形和棱台性质易排除A，B，D.故选C.
3.设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
【答案】B
【解析】选B 对于A，在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，只要m⊄α，过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；对于D，与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B.
4.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
5．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中．
（1）求A1C1与B1C所成角的大小；
（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
【答案】（1）60°（2）90°
【解析】（1）如图，连接AC、AB1，
由ABCD A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，
所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°. 学 ……
（2）如图，连接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四边形，∴AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴EF⊥AC，即所求角为90°.
第三节 直线、平面平行的判定与性质
考点（一） 直线与平面平行的判定与性质
【基础知识通关】
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行）
l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行⇒线线平行）
l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b
2.判定线面平行的四种方法
（1）利用线面平行的定义（无公共点）；
（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；
（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；
（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．
【知识应用通关】
1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BDM于GH.
求证：PA∥GH.
【答案】证明：如图所示，连接AC交BD于点O，
连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM. 学
又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
且PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.
2.（2018·长沙模拟）如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC＝，AB＝2.
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求此六面体的体积．
【答案】（1）作DF⊥AB交AB于点F，连接CF，
因为平面ABC⊥平面ABD， 学
所以DF⊥平面ABC，
又EC⊥平面ABC，
所以DF∥EC.
因为△ABD是边长为2的等边三角形，
所以DF＝，
因此DF＝EC，
于是四边形DECF为平行四边形，
所以DE∥CF，又CF⊂平面ABC，DE⊄平面ABC， 学
因此DE∥平面ABC.
（2）2
（2）因为△ABD是等边三角形，
所以F是AB的中点，
而△ABC是等边三角形，
因此CF⊥AB，
考点（二） 平面与平面平行的判定与性质
【基础知识通关】
1.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）
a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
2.判定面面平行的四种方法
（1）利用定义：即证两个平面没有公共点（不常用）．
（2）利用面面平行的判定定理（主要方法）．
（3）利用垂直于同一条直线的两平面平行（客观题可用）．
（4）利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（客观题可用）．
【知识应用通关】
1.如图，在三棱锥S ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
学
求证：（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA.
【答案】证明：（1）因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.同理，EG∥平面ABC.
又因为EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，且AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
2．已知，平面α∥平面β，AB，CD夹在α，β之间，A，C∈α，B，D∈β，E，F分别为AB，CD的中点，求证：EF∥α，EF∥β.
【答案】证明：当AB和CD共面时，经过AB，CD的平面与α，β分别交于AC，BD.
∵α∥β，∴AC∥BD.
又∵AE＝EB，CF＝FD，∴EF∥AC.
∵AC⊂α，EF⊄α，∴EF∥α，同理EF∥β.
当AB和CD异面时，如图在CD与E所确定的平面内，过点E作C′D′∥CD与α，β分别交于点C′，D′.
经过相交直线AB和C′D′作平面分别交α，β于AC′，BD′.
∵α∥β，∴AC′∥BD′，又AE＝EB，
∴C′E＝ED′，
∵C′D′∥CD，
∴经过C′D′和CD作平面与α，β分别交于C′C 和D′D.
∵α∥β，∴C′C∥D′D.
在平行四边形C′D′DC中，
∵C′E＝ED′，CF＝FD，∴EF∥D′D.
∵D′D⊂β，EF⊄β，∴EF∥β，同理EF∥α.
∵α∥β，∴AC′∥BD′，又AE＝EB，
∴C′E＝ED′，
∵C′D′∥CD，
∴经过C′D′和CD作平面与α，β分别交于C′C 和D′D.
∵α∥β，∴C′C∥D′D.
在平行四边形C′D′DC中，
∵C′E＝ED′，CF＝FD，∴EF∥D′D.
∵D′D⊂β，EF⊄β，∴EF∥β，同理EF∥α.
第四节 直线、平面垂直的判定与性质
考点（一） 直线、平面垂直的判定与性质
【基础知识通关】
1．直线与平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
（2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.平面与平面垂直
（1）平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
3.证明直线与平面垂直的方法
（1）定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面（不常用）；
（2）判定定理（常用方法）；
（3）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面（客观题常用）；
（4）若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面（客观题常用）；
（5）若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面（常用方法）;
（6）若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面（客观题常用）．
4.面面垂直判定的两种方法与一个转化
两种方法
（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）
一个转化
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直
【知识应用通关】
1.已知四棱锥P ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别为BC，PD的中点，PA＝AB＝2.
（1）证明：AE⊥平面PAD；
（2）求多面体PAECF的体积．
【答案】（1）（1）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AE.
由底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°得，△ABC为等边三角形，
又E为BC的中点，得AE⊥BC，所以AE⊥AD.
因为PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.
（2）多面体PAECF的体积V＝＋＝.
2．如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
【答案】证明：（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以平面ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
（3）因为AB⊥AD，而且平面ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD. 学
所以BE∥平面PAD.
（3）因为AB⊥AD，而且平面ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥底面ABCD，
考点（二） 平行与垂直的综合问题
【基础知识通关】
1．平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．
2．垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 学
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
3.解决探索性问题的基本方法
（1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在． 学 .
（2）探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用．
4.求解翻折问题的关键及注意事项
求解平面图形翻折问题的关键是弄清原有的性质变化与否，即翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．应注意：
（1）点的变化，点与点的重合及点的位置变化；
（2）线的变化，翻折前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化；
（3）长度、角度等几何度量的变化．
【知识应用通关】
1.如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
【答案】证明：（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC⊂平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，
所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC，
所以AD⊥AC.
所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF. 学
（1）求证：NC∥平面MFD；
（2）若EC＝3，求证：ND⊥FC；
（3）求四面体NEFD体积的最大值．
【答案】（1）证明：∵平行四边形MNEF和EFDC都是矩形，
∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，∴MN∥CD.
∴四边形MNCD是平行四边形．
∴NC∥MD.
∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，
∴NC∥平面MFD.
（2）证明：连接ED，交FC于点O，如图所示．
∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE⊂平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.
∵FC⊂平面ECDF，∴FC⊥NE.
∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.
又∵ED∩NE＝E，ED，NE⊂平面NED，
∴FC⊥平面NED.
∵ND⊂平面NED，∴ND⊥FC.
（3）2
3．如图，已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（1）证明：MN∥平面AA′C′C；
（2）设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．
【答案】（1）证明：如图，
取A′B′的中点E，连接ME，NE.
因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.
又A′C′⊂平面AA′C′C，A′A⊂平面AA′C′C，
所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，
所以平面MNE∥平面AA′C′C，
因为MN⊂平面MNE，
所以MN∥平面AA′C′C.
（2）连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，
由题意知BC＝λa，CN＝BN＝，
因为三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，
所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，
因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，
所以A′B′＝A′C′，A′N⊥B′C′，
所以A′N⊥平面BB′C′C，
所以CN⊥A′N，
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
所以CN2＋BN2＝BC2，
即2＝2λ2a2，
解得λ＝，故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.
【解析】（1）证明：如图，
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