2019届二轮复习　求数列的通项作业（全国通用） 练习

第2节　求数列的通项

一、选择题

1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(　A　)

(A)15 (B)16 (C)49 (D)64

解析:a8=S8-S7=64-49=15,选A.

2.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于(　C　)

(A)-6(1-3-10) (B)(1-310)

(C)3(1-3-10) (D)3(1+3-10)

3.已知数列{an}中,a1=1,且an+1=(n∈N*),则a10等于(　D　)

(A)28   (B)33  (C)   (D)

4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于(　A　)

(A)66 (B)65 (C)61 (D)56

5.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于(　D　)

(A)24 (B)32 (C)48 (D)64

解析:由anan+1=2n,

所以an+1an+2=2n+1,

两式相除得=2,

所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列,而a1=1,a2=2,

所以a10=2×24=32,

a11=1×25=32,

又因为an+an+1=bn,

所以b10=a10+a11=64.

6.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且3Sn=anan+1,则a2+a4+a6+…+a2n等于(　B　)

(A) (B) 

(C) (D)

解析:当n=1时,3S1=a1a2,

即3a1=a1a2,

所以a2=3,

当n≥2时,由3Sn=anan+1,可得3Sn-1=an-1an,

两式相减得3an=anan+1-an-1an,

3an=an(an+1-an-1).

因为an≠0,

所以an+1-an-1=3,

所以{a2n}为一个以3为首项,3为公差的等差数列,

所以a2+a4+a6+…+a2n=3n+×3=,选B.

二、填空题

7.设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1,2an=-SnSn-1(n≥2),则Sn=　　　　. 

答案:

8.设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{}前10项的和为　　　　. 

解析:因为a1=1,an+1-an=n+1,

所以a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),

将以上n-1个式子相加得an-a1=2+3+…+n=,即an=,

令bn=,

故bn==2(-),

故S10=b1+b2+…+b10=2(1-+-+…+-)=.

答案:

9.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. 

解析:a1+a2=4,a2=2a1+1,

所以a1=1,a2=3,

由an+1=2Sn+1,

an=2Sn-1+1(n≥2)相减可得

an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2),

又a2=3a1,

所以{an}为等比数列,

S5==121.

答案:1　121

10.已知数列{an}的首项a1=1,其前n项和Sn=n2·an(n∈N*),则a9=　　　　. 

解析:当n≥2时,Sn=n2·an,Sn-1=(n-1)2an-1,

得an=n2·an-(n-1)2an-1,

(n2-1)an=(n-1)2an-1,

即=,

因为··…··=··…··,

即=,an=,

所以a9=.

答案:

11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=4an+2n,则数列{an}的通项公式an=　　　　. 

解析:由题=+·()n,

由-=·()n-1,

-=·()n-2,

…

-=·()1,

得-=,

即an=22n-1-2n-1.

答案:22n-1-2n-1

12.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-,n∈N*,则(1)a3=　　　　; 

(2)S1+S2+…+S100=　　　　　　　　. 

解析:(1)当n=1时,S1=(-1)a1-,得a1=-.

当n≥2时,Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)-.

当n为偶数时,Sn-1=-,

当n为奇数时,Sn=Sn-1-,

从而S1=-,S3=-,

又由S3=-a3-得a3=-.

(2)由(1)得S1+S3+S5+…+S99=----…-,S101=-,

又S2+S4+S6+…+S100=2S3++2S5++2S7++…+2S101+=0,

故S1+S2+…+S100=(-1).

答案:(1)-　(2)(-1)

三、解答题

13.数列{an}中,a1=,an+1=,求数列{an}的通项公式.

解:由an+1=可得,

(n+1)an+1=,两边取倒数得,

==1+,

两边同时加上1,得

+1=2+=2(+1).

所以数列{+1}是以+1=3为首项,以2为公比的等比数列.

所以+1=3×2n-1,化简得an=.

14.若数列{an}的前n项和为Sn,点(an,Sn)在y=-x的图象上(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若C1=0,且对任意正整数n都有Cn+1-Cn=loan.

求证:对任意正整数k≥2,总有≤+++…+<.

(1)解:因为Sn=-an,

所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,

所以an=an-1,

又因为S1=-a1,

所以a1=,

所以an=·()n-1=()2n+1.

(2)证明:由Cn+1-Cn=loan=2n+1得

当n≥2时,Cn=C1+(C2-C1)+(C3-C2)+…+(Cn-Cn-1)

=0+3+5+…+(2n-1)

=n2-1

=(n+1)(n-1),

所以++…+=++…+

=×[(1-)+(-)+…+(-)]

=[(1+)-(+)]=-(+)

<.

又因为++…+≥=.

所以原式得证.

15.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项an;

(2)若存在n∈N*,使得an≤(n+1)λ成立,求实数λ的最小值.

解:(1)当n≥2时,

由题可得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an.①

a1+2a2+3a3+…+nan=an+1,②

②-①得nan=an+1-an,

即(n+1)an+1=3nan,=3,

所以{nan}是以2a2=2为首项,

3为公比的等比数列(n≥2),所以nan=2·3n-2,

所以an=·3n-2(n≥2),

因为a1=1,不满足上式,

所以an=

(2)an≤(n+1)λ⇔λ≥,

由(1)可知当n≥2时,=,

设f(n)=(n≥2,n∈N*),

则f(n+1)-f(n)=<0,

所以>(n≥2),

又=3,可得λ≥×=,

所以所求实数λ的最小值为.