2019届二轮复习（理）专题跟踪训练19数列的通项与求和作业（全国通用）

专题跟踪训练(十九)

一、选择题

1．(2018·安徽淮南一模)已知{an}中，an＝n2＋λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)

A．(－2，＋∞)  B．[－2，＋∞)

C．(－3，＋∞)  D．[－3，＋∞)

[解析]　∵{an}是递增数列，∴∀n∈N*，an＋1>an，

∴(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，

化简得λ>－(2n＋1)，∴λ>－3.故选C.

[答案]　C

2．(2018·信阳二模)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)

A．1121  B．1122  C．1123  D．1124

[解析]　由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1123.选C.

[答案]　C

3．(2018·石家庄一模)已知正项数列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为(　　)

A．an＝   B．an＝

C．an＝   D．an＝n

[解析]　因为(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，所以[(n＋2)an＋1－(n＋1)an]·(an＋1＋an)＝0.又{an}为正项数列，所以(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0，即＝，

则当n≥2时，an＝··…··a1＝··…··1＝.又∵a1＝1也适合，∴an＝，故选B.

[答案]　B

4．(2018·广东茂名二模)Sn是数列{an}的前n项和，且∀n∈N*都有2Sn＝3an＋4，则Sn＝(　　)

A．2－2×3n   B．4×3n

C．－4×3n－1   D．－2－2×3n－1

[解析]　∵2Sn＝3an＋4，∴2Sn＝3(Sn－Sn－1)＋4(n≥2)，变形为Sn－2＝3(Sn－1－2)，又n＝1时，2S1＝3S1＋4，解得S1＝－4，∴S1－2＝－6.∴数列{Sn－2}是等比数列，首项为－6，公比为3.∴Sn－2＝－6×3n－1，可得Sn＝2－2×3n.故选A.

[答案]　A

5．(2018·河北石家庄一模)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2018的值为(　　)

A．2  B．－3  C．－  D.

[解析]　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，同理可得：a3＝－，a4＝，a5＝2，…，可得an＋4＝an，则a2018＝a504×4＋2＝a2＝－3.故选B.

[答案]　B

6．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)，则an＝(　　)

A．10n－2  B．10n－1  C．102n－1  D．22n－1

[解析]　因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)，

所以log2an＋1＝2log2an，

即＝2.

又a1＝2，所以log2a1＝log22＝1.

故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列．

所以log2an＝2n－1，即an＝22n－1.

[答案]　D

二、填空题

7．(2018·河南新乡三模)若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________.

[解析]　∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，

∴an＋1－an＝3n－1，∴当n≥2时，an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，

∵a1＝1，∴an＝.a1＝1也适合，∴an＝.

[答案]　

8．已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．

[解析]　因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，

所以4an－an＋1＋1＝0.

所以an＋1＋＝4.

因为a1＝3，所以a1＋＝.

故数列是首项为，公比为4的等比数列．

所以an＋＝×4n－1，故数列{an}的通项公式为an＝×4n－1－.

[答案]　an＝×4n－1－

9．(2018·山西大同模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝________.

[解析]　由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，

∴S60＝8×15＝120.

[答案]　120

三、解答题

10．(2018·郑州质检)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn，且数列是公差为2的等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]　(1)由已知条件得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，

∴Sn＝2n2－n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.

当n＝1时，a1＝S1＝1，而4×1－3＝1，∴an＝4n－3.

(2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，

当n为偶数时，

Tn＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n－3)＝4×＝2n，

当n为奇数时，n＋1为偶数，

Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1.

综上，Tn＝

11．(2018·南昌市二模)已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n2＋n.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

[解]　(1)＋＋＋…＋＝n2＋n①，

∴当n≥2时，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1②，

①－②得，＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2)．

又当n＝1时，＝1＋1，a1＝4也适合an＝n·2n＋1，∴an＝n·2n＋1.

(2)由(1)得，bn＝＝n(－2)n，

∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n③，

－2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n×(－2)n＋1④，

③－④得，3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n－n×(－2)n＋1＝－n×(－2)n＋1，

∴Sn＝－.

12．(2018·北京海淀模拟)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]　(1)∵Sn＝2an－a1，

∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，

∴an＝2an－2an－1，化为an＝2an－1.

由a1，a2＋1，a3成等差数列得，2(a2＋1)＝a1＋a3，

∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.

∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2.

∴an＝2n.

(2)∵an＝2n，∴Sn＝＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2.

∴bn＝＝＝.

∴数列{bn}的前n项和

Tn＝

＝.