2019届二轮复习小题专练　椭圆、双曲线、抛物线作业（全国通用）

小题专练·作业(十三)　椭圆、双曲线、抛物线

1．方程＋＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是(　　)

A．－3<m<0   B．－3<m<2

C．－3<m<4   D．－1<m<3

解析　由题意知，(m－2)(m＋3)<0，解得－3<m<2，则C，D选项均不合题意，而B选项为充要条件，不合题意。故选A。

答案　A

2．已知抛物线x2＝2y的焦点与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则m＝(　　)

A．1　　　 　 B．2 

C．3　　　 　 D．

解析　抛物线x2＝2y的焦点为，椭圆＋＝1的一个焦点为(0，)，可得＝，解得m＝。故选D。

答案　D

3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线l：y＝2x－2。若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为(　　)

A．1   B．2

C．   D．4

解析　由题意可知，双曲线的一个顶点为(1,0)，所以a＝1，又＝2，所以b＝2，c＝，则焦点(，0)到渐近线y＝2x的距离d＝＝2。

答案　B

4．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)

A．5   B．6

C．7   D．8

解析　解法一：根据题意，过点(－2,0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2)，与抛物线方程联立消元整理得：y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，从而可以求得·＝0×3＋2×4＝8。故选D。

解法二：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4。易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8。故选D。

答案　D

5．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为(　　)

A．－y2＝1   B．x2－＝1

C．x2－＝1   D．－y2＝1

解析　

由∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，可得直线l为F1Q的垂直平分线，且Q在PF2的延长线上，可得|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|F2Q|，即|PF1|－|PF2|＝|F2Q|，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，由|F2Q|＝2，可得a＝1，由e＝＝，可得c＝，则b＝＝，则双曲线的方程为x2－＝1。故选B。

答案　B

6．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点。过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)

A．   B．2

C．   D．

解析　不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝。故选C。

答案　C

7．(2018·湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos∠PF1F2，即|PF2|＝2c·，所以a＝＝c＋c·，又60°<∠PF1F2<120°，所以－<cos∠PF1F2<，所以2c<a<(＋1)c，则<<，即<e<。故选B。

答案　B

8．过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________。

解析　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，直线AB的方程为y＝x＋1，即x＝(y－1)。由消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝。

答案　

9．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________。

解析　不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2。

答案　2

10．(2018·广东五校联考)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________。

解析　由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)。

答案　[2,2)

11．(2018·北京高考)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1。若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________。

解析　设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，＋＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，因为b2＝a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以e－8e＋4＝0，所以e＝4±2，所以e椭＝＋1(舍去)或e椭＝－1，所以椭圆M的离心率为－1，因为双曲线的渐近线过点A，所以渐近线方程为y＝x，所以＝，故双曲线的离心率e双＝ ＝2。

答案　－1　2

12．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　依题意，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定的，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<，即>，因此该双曲线的离心率e＝∈。故选B。

答案　B

13．(2018·福建六校联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N。若四边形CMNF的面积等于7，则抛物线E的方程为(　　)

A．y2＝x   B．y2＝2x

C．y2＝4x   D．y2＝8x

解析　由题意，得F，直线AB的方程为y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立y＝x－和y2＝2px得，y2－2py－p2＝0，则y1＋y2＝2p，所以y0＝＝p。故N(0，p)，又因为点M在直线AB上，所以x0＝，即M，因为MC⊥AB，所以kAB·kMC＝－1，故kMC＝－1，从而直线MC的方程为y＝－x＋p，令y＝0，得x＝p，故C，四边形CMNF是梯形，则S四边形CMNF＝(|MN|＋|CF|)·|NO|＝·p＝p2＝7，所以p2＝4，又p>0，所以p＝2，故抛物线E的方程为y2＝4x。故选C。

答案　C

14．已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,2)，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于________。

解析　由椭圆＋＝1知a＝3，b＝，c＝＝2，在Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2，则|AF|＝4。设椭圆的左焦点为F1，则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当P在线段AF1的延长线上时取“＝”)。下面求当△APF周长最大时P的纵坐标：易知AF1的方程为＋＝1，与椭圆的方程5x2＋9y2－45＝0联立并整理得32y2－20y－75＝0，解得yP＝－(正值舍去)。则△APF的周长最大时，S△APF＝|F1F|·|yA－yP|＝×4×＝。

答案　

15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为点C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为________。

解析　

解法一：如图所示，因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|。A，直线AF2的方程为y－0＝(x－c)，化为y＝(x－c)，代入椭圆方程＋＝1(a>b>0)，可得(4c2＋b2)x2－2cb2x＋b2c2－4a2c2＝0，所以xC·(－c)＝，解得xC＝。因为＝2，所以c－(－c)＝2。化为a2＝5c2，解得e＝。

解法二：依题意可得，＝2，所以F2为AC的三等分点。又A，所以C。将C代入椭圆方程得＋＝1，得＝，所以e＝。

答案