2021高考数学大一轮复习考点规范练3命题及其关系充要条件理新人教A版

考点规范练3　命题及其关系、充要条件

　考点规范练A册第3页　 

基础巩固

1.命题p:“若x>1,则x2>1”,则命题p以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:命题p:“若x>1,则x2>1”是真命题,则其逆否命题为真命题;

其逆命题:“若x2>1,则x>1”是假命题,则其否命题也是假命题.

综上可得,四个命题中真命题的个数为2.

2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是(　　)

A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”

B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”

C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”

D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

答案:B

解析:将原命题的条件与结论互换即得逆命题,故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”.

3.已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题中,真命题有(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

答案:B

解析:命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,故其逆否命题为真命题.又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题为假命题.故其否命题为假命题.故选B.

4.已知a,b∈R,p:a+b≠4,q:a≠1,且b≠3,则p是q的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:D

解析:由题意,易知pq,qp,故p是q的既不充分也不必要条件.

5.下列命题中为真命题的是(　　)

A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题

B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题

C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题

D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题

答案:A

解析:对于A,逆命题是:若x>|y|,则x>y.因为x>|y|≥y,必有x>y,所以逆命题是真命题;

对于B,否命题是:若x≤1,则x2≤1.

因为x=-5,有x2=25>1,所以否命题是假命题;

对于C,否命题是:若x≠1,则x2+x-2≠0.

因为x=-2,有x2+x-2=0,所以否命题是假命题;

对于D,若x2>0,则x≠0,不一定有x>1,因此逆否命题是假命题.

6.已知条件p:a<0,条件q:a2>a,则p是q的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:因为p:a≥0,q:0≤a≤1,所以p是q的必要不充分条件.

7.(2019天津,理3)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:由x2-5x<0,可得0<x<5.由|x-1|<1,得0<x<2,因为0<x<5不能推出0<x<2,但0<x<2可以推出0<x<5,所以0<x<5是0<x<2的必要不充分条件,即0<x<5是|x-1|<1的必要不充分条件.故选B.

8.下列说法错误的是(　　)

A.设x,y∈R,则“x2+y2≥2”是“x≥1,且y≥1”的必要不充分条件

B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件

C.“ac2<bc2”是“a<b”的必要不充分条件

D.命题“若x2-3x-10=0,则x=5”的逆否命题为“若x≠5,则x2-3x-10≠0”

答案:C

解析:对于A,当“x≥1,且y≥1”时,“x2+y2≥2”必成立;反之,当x=-2,y=-1时,“x2+y2≥2”成立,但“x≥1,且y≥1”不成立,因此“x2+y2≥2”是“x≥1,且y≥1”的必要不充分条件,故A正确.对于B,当x=1时,满足x2-3x+2=0;反之,当x2-3x+2=0时,不一定有x=1,因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,故B正确.对于C,当a<b时,若c=0,则ac2<bc2不成立,故必要性不成立,故C错误.对于D,根据逆否命题的定义可知,D正确.故选C.

9.设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(　　)

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:∵3a>3b>3,∴a>b>1.∴log3a>log3b>0.

,即loga3<logb3.

∴“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分条件.

当0<a<1,b>1时,满足loga3<logb3.

而由3a>3b>3,得a>b>1,

∴由loga3<logb3不能推出3a>3b>3,

∴“3a>3b>3”不是“loga3<logb3”的必要条件.

∴“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件,故选B.

10.已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是(　　)

A.b B.b< C.a D.a>

答案:A

解析:∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|<a,

∴|2x+2|<a.∴-a<2x+2<a<x<

∵|x+1|<b,∴-b<x+1<b.∴-b-1<x<b-1.

∵|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),

(-b-1,b-1).

∴-b-1,b-1,解得b故选A.

11.有下列几个命题:

①“若a>b,则a2>b2”的否命题;

②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;

③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.

其中真命题的序号是　　　　　　. 

答案:②③

解析:①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,是假命题;②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题;③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,是真命题.

12.已知p:x≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p是?q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:q:(x-a)(x-a-1)≤0,解得a≤x≤a+1.

由p是q的充分不必要条件,知[a,a+1],则且等号不能同时成立,解得0≤a

能力提升

13.A,B,C三名学生参加了一次考试,A,B的得分均为70分,C的得分为65分.已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格.在下列四个命题中,p的逆否命题是(　　)

A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格

B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分

C.若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分

D.若A,B,C至少有一人及格,则及格分高于70分

答案:C

解析:根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,p的逆否命题是:若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分.故选C.

14.关于x的方程x2-2x+a+1=0有一正一负两个实根的充要条件是(　　)

A.a<0 B.a<-1 C.-1<a<0 D.a>-1

答案:B

解析:∵关于x的方程x2-2x+a+1=0有一正一负两个实根,

解得a<-1.

15.设θ∈R,则是“sin θ<的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:当时,0<θ<,∴0<sinθ<

∴是“sinθ<的充分条件.

当θ=-时,sinθ=-,但不满足

∴不是“sinθ<的必要条件.

∴是“sinθ<的充分不必要条件.故选A.

16.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　. 

答案:(1,2]

解析:∵p是q的必要不充分条件,∴q⇒p,且pq.

设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B⫋A.

又B={x|2<x≤3},当a>0时,A={x|a<x<3a};

当a<0时,A={x|3a<x<a}.

故当a>0时,有解得1<a≤2;

当a<0时,显然A∩B=⌀,不合题意.

综上所述,实数a的取值范围是(1,2].

17.已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 

答案:(-∞,0]∪[3,+∞)

解析:易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},由p是q的充分条件,可知A⊆B,故a+1≤1或a-1≥2,即a≤0或a≥3.

即所求实数a的取值范围是(-∞,0]∪[3,+∞).

高考预测

18.已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的(　　)

A.充要条件  B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

答案:B

解析:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,可得d==1,解得k=±,所以p是q的充分不必要条件,则p是q的必要不充分条件.