2021高考数学大一轮复习考点规范练46两条直线的位置关系理新人教A版

考点规范练46　两条直线的位置关系

　考点规范练B册第31页　 

基础巩固

1.(2019黑龙江大庆高三一模)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为(　　)

A B C D

答案:B

解析:因为l1∥l2,所以,解得a=-1,所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,所以l1与l2之间的距离d=,故选B.

2.(2019四川成都调研)已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)

A.(3,) B.(2,) C.(1,) D

答案:C

解析:直线l1的斜率为k1=tan30°=,因为直线l2与直线l1垂直,所以k2=-=-,所以直线l1的方程为y=(x+2),直线l2的方程为y=-(x-2).两式联立,解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,).故选C.

3.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点(　　)

A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)

答案:B

解析:直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).

因为直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).

4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是(　　)

A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0

答案:D

解析:设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.

5.(2019贵州遵义四模)在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0(a≠0)与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为(　　)

A B C.5 D.10

答案:D

解析:由题可得P(0,1),Q(-3,0),连接PQ,

∵a≠0,-a=-1,∴直线l与直线m垂直,

∴|MP|2+|MQ|2=|PQ|2.

∵|PQ|=,∴|MP|2+|MQ|2=10,故选D.

6.(2019河北廊坊省级示范高中联考)已知直线l1:ax+by+1=0与直线l2:2x+y-1=0互相垂直,且l1经过点(-1,0),则b=　　　　　. 

答案:-2

解析:因为l1⊥l2,所以2a+b=0,又-a+1=0,所以a=1,b=-2.

7.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是　　　　　. 

答案:

解析:由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,

故解得

所以直线方程为y=-x+

令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为

8.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程.

解:方法一:∵P(2,3)是已知两条直线的交点,

∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.

由题意可知,a1≠a2,=-

故所求直线方程为y-b1=-(x-a1),

即2x+3y-(2a1+3b1)=0,∴2x+3y+1=0.

∴过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.

方法二:∵点P是已知两条直线的交点,

可见Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都满足方程2x+3y+1=0.

∴过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.

9.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:

(1)相交?

(2)平行?

(3)垂直?

解:(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;

当m≠-5时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-,k2=-,它们在y轴上的截距分别为b1=,b2=

由k1≠k2,得--,

即m≠-7,且m≠-1.

则当m≠-7,且m≠-1时,l1与l2相交.

(2)由解得m=-7.

则当m=-7时,l1与l2平行.

(3)由k1k2=-1,得=-1,解得m=-则当m=-时,l1与l2垂直.

10.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.

解:作出草图,如图所示.

设A关于直线y=x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D',

则易得A'(-2,-4),D'(1,6).

由入射角等于反射角可得A'D'所在直线经过点B与点C.

故BC所在的直线方程为,即10x-3y+8=0.

能力提升

11.三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0构成一个三角形,则k的取值范围是(　　)

A.k∈R  B.k∈R,且k≠±1,k≠0

C.k∈R,且k≠±5,k≠-10 D.k∈R,且k≠±5,k≠1

答案:C

解析:若有两条直线平行,或三条直线交于同一点,则不能构成三角形.

由l1∥l3,得k=5;

由l2∥l3,得k=-5;

由x-y=0与x+y-2=0,得x=1,y=1,若(1,1)在l3上,则k=-10.

若l1,l2,l3能构成一个三角形,则k≠±5且k≠-10,故选C.

12.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上各找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为　　　　　. 

答案:2

解析:由点A(3,1)及直线y=x,可求得点A关于y=x的对称点为点B(1,3),同理可求得点A关于y=0的对称点为点C(3,-1),如图所示.

则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C四点共线时,△AMN的周长最短,为|BC|=2

13.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为　　　　　. 

答案:4

解析:由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4

14.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　　　. 

答案:6x-y-6=0

解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',

所以解得

又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6x-y-6=0.

15.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是

(1)求a的值;

(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:

①点P在第一象限;

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是

若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.

解:(1)因为直线l2:2x-y-=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d=,

所以,即,

又a>0,解得a=3.

(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若点P满足条件②,则点P在与l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且,即c=或c=,所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0;

若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,有,

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,

所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;

因为点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.

联立解得(舍去);

联立解得

所以存在点P同时满足三个条件.

高考预测

16.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)

A B C D

答案:D

解析:依题意得|a-b|=,当0≤c时,|a-b|=1.

因为两条直线间的距离等于,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是