2021高考数学大一轮复习考点规范练48直线与圆圆与圆的位置关系理新人教A版

考点规范练48　直线与圆、圆与圆的位置关系

　考点规范练B册第33页　 

基础巩固

1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(　　)

A.2x+y+5=0或2x+y-5=0

B.2x+y+=0或2x+y-=0

C.2x-y+5=0或2x-y-5=0

D.2x-y+=0或2x-y-=0

答案:A

解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1).

因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为,

所以,即|m|=5.

故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.

2.(2019河北衡水中学高三下学期大联考)已知圆O1:x2+y2=4,圆O2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),则“2<r<7”是“圆O1与圆O2相交”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:由于两圆相交的充要条件为3<r<7,故选B.

3.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以为中点的弦长为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

解析:∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,

∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),

∴3+2a-11=0,解得a=4,

即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d==1,

圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=,

∴圆C中以为中点的弦长为2=2=4.故选D.

4.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　)

A.5 B.10 C.15 D.20

答案:B

解析:圆x2+y2-2x-6y=0变形为(x-1)2+(y-3)2=10.

则圆心为P(1,3),半径r=

因为点E(0,1),所以|PE|=

过圆x2+y2-2x-6y=0内点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,所以|AC|=2r=2,|BD|=2=2=2,且AC⊥BD,所以四边形ABCD的面积为S=|AC|×|BD|=22=10

5.一束光线从点(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是　　　　　. 

答案:4

解析:作出已知圆C关于x轴对称的圆C',如图所示.

则圆C'的方程为(x-2)2+(y+3)2=1,所以圆C'的圆心坐标为(2,-3),半径为1,

则最短距离d=|AC'|-r=-1=5-1=4.

6.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=　　　　　. 

答案:

解析:如图,∵OA=1,AP=,

又PA=PB,∴PB=

∴∠APO=30°.

∴∠APB=60°.

=||||cos60°=

7.(2019河北廊坊省级示范高中联考)已知直线l:y=kx+2与圆C:(x-1)2+(y-4)2=10相交于A,B两点,若|AB|=6,则k=　　　　　. 

答案:

解析:设点C(1,4)到直线l的距离为d,则d==1.因为d=,所以=1,解得k=

8.(2019云南昆明调研)若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为　　　　　. 

答案:4

解析:由题意知,圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r==3.

因为点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d=,所以|AB|的最小值|AB|min=2=2=4.

9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.

(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;

(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的倾斜角.

(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1);

故直线l恒过定点P(1,1).

因为=1<,

所以点P(1,1)在已知圆C内,从而直线l与圆C总有两个不同的交点.

(2)解圆的半径r=,圆心C到直线l的距离为d=

由点到直线的距离公式得,

解得m=±,故直线的斜率为±,从而直线l的倾斜角为

10.(2019河北衡水中学高三模拟)已知圆C经过原点O(0,0)且与直线y=2x-8相切于点P(4,0).

(1)求圆C的方程.

(2)在圆C上是否存在两个点M,N关于直线y=kx-1对称,且以线段MN为直径的圆经过原点?若存在,写出直线MN的方程;若不存在,请说明理由.

解:(1)由已知,得圆心在经过点P(4,0)且与y=2x-8垂直的直线y=-x+2上,它又在线段OP的中垂线x=2上,所以求得圆心C(2,1),半径为所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

(2)假设存在两点M,N关于直线y=kx-1对称,则y=kx-1通过圆心C(2,1),求得k=1,所以设直线MN为y=-x+b,代入圆的方程得2x2-(2b+2)x+b2-2b=0,设M(x1,-x1+b),N(x2,-x2+b),

则=2x1x2-b(x1+x2)+b2=b2-3b=0,解得b=0或b=3,这时Δ>0,符合题意,所以存在直线MN为y=-x或y=-x+3符合条件.

能力提升

11.(2019广西柳州高三模拟)已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的取值为(　　)

A.-1或 B.1或-1 C.2或-2 D.1

答案:B

解析:由题意可知△ABC为等腰直角三角形,∴圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d=sin,即,整理得1+a2=2,即a2=1,解得a=-1或1,故选B.

12.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|||,则k的取值范围是(　　)

A.(,+∞) B.[,+∞) C.[,2) D.[,2)

答案:C

解析:设AB中点为D,则OD⊥AB,

∵|||,∴2|||,

∴||≤2|.

∵||2+|2=4,∴||2≥1.

∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,∴||2<4.

∴4>||2≥1,∴4>1.

∵k>0,k<2,故选C.

13.已知点P(x,y)是直线y=-kx-4(k>0)上的一个动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为　　　　　. 

答案:2

解析:根据题意画出图形,如图所示.

由题意得圆C:x2+y2-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,由圆的性质可得S四边形PACB=2S△PBC,四边形PACB的面积的最小值为2,∴S△PBC的最小值S=1=rd(d是切线长),

∴dmin=2,此时|CP|min=

∵圆心到直线的距离就是PC的最小值,

,又k>0,∴k=2.

14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.

解:因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为±1或切线过原点.

①当k=±1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.

由于相切,则方程有两个相等的实数根,

即b=3或b=-1,c=5或c=1.

故所求切线方程为

x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.

②当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.

由,得k=2±

所以此时切线方程为y=(2±)x.

综上①②可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-)x-y=0或(2+)x-y=0.

15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;

(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.

解:因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).

因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,

从而7-y0=5+y0,解得y0=1.

因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.

(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.

设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,

则圆心M到直线l的距离d=

因为BC=OA==2,而MC2=d2+,

所以25=+5,解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).

因为A(2,4),T(t,0),,所以①

因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②

将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.

于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,

从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-55+5,解得2-2t≤2+2

因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].

高考预测

16.若直线=1通过点M(cos α,sin α),则(　　)

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C1 D1

答案:D

解析:因为点M(cosα,sinα)在圆x2+y2=1上,又直线=1过点M,所以直线与圆相交或相切.

所以1,所以1.