2021高考数学大一轮复习考点规范练62离散型随机变量及其分布列理新人教A版

考点规范练62　离散型随机变量及其分布列

　考点规范练B册第46页　 

基础巩固

1.袋中装有除颜色外其他完全相同的10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是(　　)

A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5

答案:C

解析:“放回5个红球”表示前五次都摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6.

2.设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)的值为(　　)

A.1 B C D

答案:C

解析:设X的分布列为

即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,失败的概率为p,成功的概率为2p.

由p+2p=1,得p=

3.从装有除颜色外其他完全相同的3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)

A B C D

答案:C

解析:这是一个超几何分布问题,所求概率为P=

4.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球,设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X,则P(X=2)=(　　)

A B C D

答案:D

解析:X=2,即摸出的3个球有2种颜色,其中一种颜色的球有2个,另一种颜色的球有1个,故P(X=2)=,故选D.

5.一个袋子中装5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的3只球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案:C

解析:随机变量ξ的可能取值为1,2,3.

当ξ=1时,即取出的3只球中最小号码为1,则其他2只球只能在编号为2,3,4,5的4只球中任取2只,故P(ξ=1)=;

当ξ=2时,即取出的3只球中最小号码为2,则其他2只球只能在编号为3,4,5的3只球中任取2只,故P(ξ=2)=;

当ξ=3时,即取出的3只球中最小号码为3,则其他2只球只能在编号为4,5的2只球中取,故P(ξ=3)=故选C.

6.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)等于(　　)

A B C D

答案:D

解析:P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-

7.离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:

则P等于(　　)

A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55

答案:B

解析:根据分布列的性质知,随机变量X的所有取值的概率和为1,

因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,即10x+y=25,由x,y是0~9间的自然数,可解得x=2,y=5,

故P=P(X=2)+P(X=3)=0.35.

8.已知随机变量X的分布列为:

若Y=2X-3,则P(1<Y≤5)=　　　　　. 

答案:0.6

解析:由随机变量X的分布列及Y=2X-3,可知

P(1<Y≤5)=P(2<X≤4)

=P(X=3)+P(X=4)

=0.4+0.2=0.6.

9.(2019辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调,每周周初购进一定数量的空调,商场每销售一台空调可获利500元,若供大于求,则多余的每台空调需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调仅获利200元.

(1)若该商场周初购进20台空调,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量n(单位:台,n∈N)的函数解析式f(n);

(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位:台),整理得下表:

以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进20台空调,X表示当周的利润(单位:元),求X的分布列及数学期望.

解:(1)当n≥20时,f(n)=500×20+200×(n-20)=200n+6000;

当n≤19时,f(n)=500×n-100×(20-n)=600n-2000,

∴f(n)=(n∈N).

(2)由(1)得f(18)=8800,f(19)=9400,f(20)=10000,f(21)=10200,f(22)=10400,

∴P(X=8800)=0.1,P(X=9400)=0.2,P(X=10000)=0.3,P(X=10200)=0.3,P(X=10400)=0.1,

X的分布列为

∴E(X)=8 800×0.1+9 400×0.2+10 000×0.3+10 200×0.3+10 400×0.1=9 860.

10.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与均值.

(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)

解:(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为

(2)X的所有可能值为1,2,3,且

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

故X的分布列为

从而E(X)=1+2+3

11.某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高,数据用茎叶图表示如图所示(单位:cm).应聘者获知:男性身高在区间[174,182],女性身高在区间[164,172]的才能进入招聘的下一环节.

(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数;

(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人,记X为抽取到的男生人数,求X的分布列及期望E(X).

解:(1)6名男生的平均身高是=181(cm),

9名女生身高的中位数为168cm.

(2)能进入下一环节的男生有3人,女生有4人.

故X的所有可能取值是0,1,2,

则P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=

所以X的分布列为

故E(X)=0+1+2

能力提升

12.已知盒子中有除颜色外其他完全相同的4个红球、4个黄球、4个白球,且每种颜色的四个球均按A,B,C,D编号.现从中摸出4个球.

(1)求恰好包含字母A,B,C,D的概率;

(2)设摸出的4个球中出现的颜色种数为X,求随机变量X的分布列和均值E(X).

解:(1)记“恰好包含字母A,B,C,D”为事件E,则P(E)=

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.

∵P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=

∴随机变量X的分布列为

∴E(X)=1+2+3

13.某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年3月份参加义务植树活动的职工中,随机抽取M名职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出频数与频率统计表和频率分布直方图,如图所示.

(1)求出表中m,n,M,p及图中a的值;

(2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在区间[25,30)的职工发放价值800元的奖品,对植树株数在区间[20,25)的职工发放价值600元的奖品,对植树株数在区间[15,20)的职工发放价值400元的奖品,对植树株数在区间[10,15)的职工发放价值200元的奖品,在所取样本中,任意取出2人,并设X为此2人所获得奖品价值之差的绝对值,求X的分布列.

解:(1)由题可知=0.25,=n,=p,又5+12+m+1=M,

解得M=20,n=0.6,m=2,p=0.1,则[15,20)的频率与组距之比a为0.12.

(2)2人所获得奖品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元,则

P(X=0)=,

P(X=200)=,

P(X=400)=,

P(X=600)=

所以X的分布列为

高考预测

14.某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值;

(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和均值E(X).

解:(1)∵第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,

∴高为=0.06.

频率分布直方图补全如下:

∵第一组的人数为=200,频率为0.04×5=0.2,

∴n==1000.

第二组的频率为0.06×5=0.3,故第二组的人数为1000×0.3=300,因此p==0.65.

由题意可知,第四组的频率为0.03×5=0.15,故第四组的人数为1000×0.15=150,因此a=150×0.4=60.

(2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1,

∴采用分层抽样法抽取18人,[40,45)岁中有12人,[45,50)岁中有6人.

可知随机变量X服从超几何分布,

∴P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=

∴随机变量X的分布列为

∴E(X)=0+1+2+3=2.