【数学】福建省莆田第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试

福建省莆田第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试

试卷满分 150分   考试时间 120分钟

一、选择题(本大题共有12小题，每小题5分，共60分，其中第11，12题为多选题，少选得3分，选错不得分;其他10小题在给出的四个选项中，只有一项符合题意)

1．曲线y＝ex在点A(1,e)处的切线的斜率为(　　)

A．1       B．2       C．e        D. 0

2.下列说法中表述恰当的是（   ）

A．用相关指数R2来刻画回归效果，R2值越接近于0，说明模型的拟合效果越好

B．已知变量之间的线性回归方程为，则相关系数r=1.7      

C．开式中，二项式系数最大的项是首末两项       

D.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的

3．若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]     B．(－∞，－1]     C．[0，＋∞)    D．[—1，＋∞)

4.在10个形状大小均相同的球中有5个红球和5个白球，不放回地依次摸出2个球，设事件A表示“第1次摸到的是红球”，事件B表示“第2次摸到的是红球”，则P（B|A）（   ）

A．           B．         C．          D．

5.已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是（   ）

A．       B．

C．       D．

6.设随机变量的概率为分布列如下表，则（   ）

A.       B.       C.       D.

7.设两个正态分布和

的密度曲线如图所示,则有(    )

A.  B.

C.  D.

8.已知奇函数满足，若，则实数a的取值范围为（   ）

A.(-∞，1]       B.(-∞，2]       C.[2，6]       D.[2，+∞)

9.将1，2，4，7，0这5个数组成不同的五位偶数的个数为（   ）

A.24       B.54       C.60       D.72

10.已知四棱锥P-ABCD的体积为，底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，则四棱锥P-ABCD最长的棱的长度为（   ）

A.       B.       C.       D.

11.（多选）设0<p<1，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（   ）

A. 随着p的增大而增大          B. 随着p的增大而减小      

C.                 D.的值最大

12．（多选）定义在（0，+∞)上的函数满足，，则下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极小值，极小值为    

B．只有一个零点

C．若在（0，+∞)上恒成立，则 

D．

二、填空题(本大题共有4个小题，每题5分，共20分)

13.已知x，y满足约束条件 ，则的最小值为_______．

14.某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取3听进行检测，则检测出恰有一听不合格饮料的概率是         .

15.若的展开式中常数项为150，则a2＋b2的最小值为______．

16.某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手顺利完成闯关的概率为________

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．)

17.（本小题10分）某车间为了规定工时额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下图：若加工时间（小时）与零件个数之间有较好的线性相关关系.

（1）求加工时间与零件个数的线性回归方程；

（2）试预报加工10个零件需要的时间。

 附：回归方程系数公式：,.

18.（本小题12分）抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为.

（1）求随机变量的分布列；   

（2）若随机变量Y=2X+1，求随机变量Y均值、方差．

19.（本小题12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到4号或9号的概率．

附：.

20．（本小题12分）已知函数f(x)=x2+aln x.

(1)若a=-2,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值.

(2)若a=1,求证在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象恒在函数g(x)=x3的图象的下方.

21.（本小题12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．军运会召开前，为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：

（1）若此次问卷调查得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），

①求的值；

②经计算，求的值．

（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为；抽中价值为30元的纪念品B的概率为，现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．

附：若，则，..

22.（本小题12分）已知函数

（1）当a=0时，求f(x)的单调区间；

（2）当a>0时，讨论f(x)的零点个数.

参考答案

一、选择题

1-10、CDCAB  AABCD  11.BC   12.BCD

二、填空题

13.-6    14.    15.   16.

三、解答题

17.（1）由表格数据知：，，

，，

所求的回归直线方程为

（2）当x=10时，由（1）得y=8.8,即预报加工10个零件需要8.8小时。

18.随机变量的取值可以为，，．

；       ；

；．

因此，随机变量的分布列为：

（2）由（1）知．

．

（用X～B（2，），则E(X)=2=1，D(X)=2=也可以）

，

19． 解析　(1)由题知优秀的人数为105×=30，所以

(2)根据列联表中的数据，得到

k＝≈6.109＞3.841，

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．

(3)设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．

事件A包含的基本事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)共7个，∴P(A)＝.

20．解：(1)由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),

当a=-2时,f'(x)=,令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).

当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,极小值为1.

(2)当a=1时,设F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-x3,则

F'(x)=

当x>1时,F'(x)<0,故F(x)在区间(1,+∞)上是减函数.

（法二：F'(x)=，令，则，

且，当x>1时,G'(x)<0，G(x)在x>1时单调递减，又，故当x>1时,G(x)<0即F'(x)<0,故F(x)在区间(1,+∞)上是减函数.也可以

）又因为F(1)=0,所以在区间（1,+∞）上F(x)<0恒成立,即f(x)<g(x)恒成立.

因此,当a=1时,在区间（1,+∞）上函数f(x)的图象性在函数g(x)图象的下方.

21.解：（1）由已知频数表得：
，
则X服从正态分布，
所以
；
显然，，
所以所有Y的取值为15，30，45，60，
，      ，
，     ，
所以Y的分布列为：

所以。

22.