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江西省南昌市重点中学2019-2020学年高二下学期期末考试——数学（理）试卷
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这是一份江西省南昌市重点中学2019-2020学年高二下学期期末考试——数学（理）试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合M＝{x|0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知全集为，集合,，则（ ）
A． B．C．D．
3.已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,，则（ ）
A．2 B．4C．-2D．-4
4.设随机变量X～B，则P(X＝3)等于( )
A．eq \f(5,16) B．eq \f(3,16) C．eq \f(5,8) D．eq \f(3,8)
5.有下列四个条件：①，，； ②，；③，，； ④、是异面直线，，，。
其中能保证直线//平面的条件是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
6. 若且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．6
7. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，则
A． B． C． D．
8. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为eq \f(2,7)，则下列说法正确的是( )
附：，
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
9. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ）
A．36种 B．30种 C．24种 D．6种
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
B．
C．
D．
11.已知函数是单调函数，且时，都有，则（ ）.
A．-4B．-3C．-1D．0
12.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直
线，若去掉一个点使得余下的个点所对应的数据的相关系数最
大，则应当去掉的点是________．
14.的展开式中x2项的系数为 ．
15.已知函数，其中，若存在
实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则m的
取值范围是______．
16.下列四种说法正确的有 ．
①命题“，”的否定是“，使得”；
②若不等式的解集为，则不等式的解集为；
③对于，恒成立，则实数a的取值范围是；
④已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．
解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|．
18.（本小题满分12分）
为了了解地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
（1）根据上表数据，利用与的相关系数，说明与的线性相关性强弱（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.
本题参考公式和数据：，，
，．
19.（本小题满分12分）
已知函数．
(1)若是定义在R上的偶函数，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若，求函数的零点．
20.（本小题满分12分）
如图所示，梯形中，，平面平面，且四边形为矩形，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（本小题满分12分）
在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品.已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分.
（1）求甲获得游戏奖品的概率；
（2）设表示游戏结束时所进行的取球次数，求的分布列及数学期望．
22.（本小题满分12分）
已知函数g(x)=x2-2ax+1在区间上的值域为．
(1)求a的值；
(2)设函数，
①若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
②若函数有三个零点，求实数的取值范围．
高二数学（理）期末考试参考答案
1-12：BDCAC CDDBA CB
12.【解析】.故为偶函数,
又结合双勾函数知在上为增函数,在上为减函数,
故在上为增函数.
综上为偶函数,且在上为增函数.
故可得.
解得选B
13.
14.-5
15.
16.②③④
17.（本小题满分10分）
(1)解 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，x≤－\f(1,2)，,1，－\f(1,2)当x≤－eq \f(1,2)时，由f(x)<2得－2x<2，
解得x>－1，所以，－1当－eq \f(1,2)当x≥eq \f(1,2)时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，
所以－eq \f(1,2)所以f(x)<2的解集M＝{x|－1(2)证明 由(1)知，当a，b∈M时，－1从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.
18.（本小题满分12分）
解：（1），，，
所以，
所以y与线性相关性很强.
（2），，
关于的线性回归方程是.
当时，百个，
即地区2020年足球特色学校有208个.
19.（本小题满分12分）
解：（1）是定义在R上的偶函数．
，即，
故．
函数，
因为．
所以满足题意．
依题意，令，
则有，得，
令，则，
解得．
即．
函数有两个零点，分别为和．
20.（本小题满分12分）
（1）证明：
又平面平面，且平面平面，面
面，又平面平面，
，
在中，，，
在中，，，
，
又，平面，
平面，平面平面；
（2）解：方法一：由（1）可知为直角三角形，且，，
作于，则
由已知平面平面，且平面平面，
面，
面
，
因为，，，所以为等腰三角形
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为.则
，即，解得：，
又因为，所以.
方法二：空间向量法（略）
21.（本小题满分12分）
解：【解析】（1）设甲获得游戏奖品为事件A：
，
所以甲获得游戏奖品的概率为；
X可能的取值为：5,7,9；
，
的分布列为
的数学期望.
22.（本小题满分12分）
解：在区间上的值域，
若时，的最小值为，
由，可得舍去，
此时满足在区间上的值域；
若时，在递减，的最小值为，
由，解得舍去；
若，则在递增，的最小值为，
由，解得（舍去），
综上可得，；
（2）由已知可得，
①所以在上恒成立可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故，
所以的取值范围是．
②由得，
令则有两个不等实根且或
记则
或
两不等式组解集分别为与 的取值范围是.优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计
105
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
年份
2015
2016
2017
2018
2019
足球特色学校（百个）
0.30
0.60
1.00
1.40
1.70
5
7
9
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合M＝{x|0
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知全集为，集合,，则（ ）
A． B．C．D．
3.已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,，则（ ）
A．2 B．4C．-2D．-4
4.设随机变量X～B，则P(X＝3)等于( )
A．eq \f(5,16) B．eq \f(3,16) C．eq \f(5,8) D．eq \f(3,8)
5.有下列四个条件：①，，； ②，；③，，； ④、是异面直线，，，。
其中能保证直线//平面的条件是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
6. 若且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．6
7. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，则
A． B． C． D．
8. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为eq \f(2,7)，则下列说法正确的是( )
附：，
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
9. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ）
A．36种 B．30种 C．24种 D．6种
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
B．
C．
D．
11.已知函数是单调函数，且时，都有，则（ ）.
A．-4B．-3C．-1D．0
12.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直
线，若去掉一个点使得余下的个点所对应的数据的相关系数最
大，则应当去掉的点是________．
14.的展开式中x2项的系数为 ．
15.已知函数，其中，若存在
实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则m的
取值范围是______．
16.下列四种说法正确的有 ．
①命题“，”的否定是“，使得”；
②若不等式的解集为，则不等式的解集为；
③对于，恒成立，则实数a的取值范围是；
④已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．
解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|．
18.（本小题满分12分）
为了了解地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
（1）根据上表数据，利用与的相关系数，说明与的线性相关性强弱（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.
本题参考公式和数据：，，
，．
19.（本小题满分12分）
已知函数．
(1)若是定义在R上的偶函数，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若，求函数的零点．
20.（本小题满分12分）
如图所示，梯形中，，平面平面，且四边形为矩形，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（本小题满分12分）
在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品.已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分.
（1）求甲获得游戏奖品的概率；
（2）设表示游戏结束时所进行的取球次数，求的分布列及数学期望．
22.（本小题满分12分）
已知函数g(x)=x2-2ax+1在区间上的值域为．
(1)求a的值；
(2)设函数，
①若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
②若函数有三个零点，求实数的取值范围．
高二数学（理）期末考试参考答案
1-12：BDCAC CDDBA CB
12.【解析】.故为偶函数,
又结合双勾函数知在上为增函数,在上为减函数,
故在上为增函数.
综上为偶函数,且在上为增函数.
故可得.
解得选B
13.
14.-5
15.
16.②③④
17.（本小题满分10分）
(1)解 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，x≤－\f(1,2)，,1，－\f(1,2)
解得x>－1，所以，－1
所以－eq \f(1,2)
18.（本小题满分12分）
解：（1），，，
所以，
所以y与线性相关性很强.
（2），，
关于的线性回归方程是.
当时，百个，
即地区2020年足球特色学校有208个.
19.（本小题满分12分）
解：（1）是定义在R上的偶函数．
，即，
故．
函数，
因为．
所以满足题意．
依题意，令，
则有，得，
令，则，
解得．
即．
函数有两个零点，分别为和．
20.（本小题满分12分）
（1）证明：
又平面平面，且平面平面，面
面，又平面平面，
，
在中，，，
在中，，，
，
又，平面，
平面，平面平面；
（2）解：方法一：由（1）可知为直角三角形，且，，
作于，则
由已知平面平面，且平面平面，
面，
面
，
因为，，，所以为等腰三角形
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为.则
，即，解得：，
又因为，所以.
方法二：空间向量法（略）
21.（本小题满分12分）
解：【解析】（1）设甲获得游戏奖品为事件A：
，
所以甲获得游戏奖品的概率为；
X可能的取值为：5,7,9；
，
的分布列为
的数学期望.
22.（本小题满分12分）
解：在区间上的值域，
若时，的最小值为，
由，可得舍去，
此时满足在区间上的值域；
若时，在递减，的最小值为，
由，解得舍去；
若，则在递增，的最小值为，
由，解得（舍去），
综上可得，；
（2）由已知可得，
①所以在上恒成立可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故，
所以的取值范围是．
②由得，
令则有两个不等实根且或
记则
或
两不等式组解集分别为与 的取值范围是.优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计
105
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
年份
2015
2016
2017
2018
2019
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1.40
1.70
5
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