【数学】四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则
A． B． C． D．
2．已知命题p：∀x∈R，2x＞0，那么命题¬p为
A．∃x∈R，2x＜0 B．∀x∈R，2x＜0 C．∃x∈R，2x≤0 D．∀x∈R，2x≤0
3．下列求导运算正确的是.
A． B． C． D．
4．随机变量，且，则
A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.80
5．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中真命题是
A．若则 B．若 则
C．若，，则 D．若，，则
6．个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有
A．种 B．种
C．种 D．种
7．执行如图所示的程序框图，输出的值是
A． B．
C． D．
8．设双曲线的离心率为，且它的一个焦
点在抛物线的准线上，则此双曲线的方程为
A． B．
C． D．
9．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
10．在区间内随机取两个数分别记为,则函数有零点的概率
A． B． C． D．
11．已知函数存在两个极值点.则实数的取值范围是
A． B． C． D．
12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的常数项是__________．
14．函数的极值点是_____________________
15．二面角的大小是，线段，，与所成的角，则与平面所成的角的正弦值是__________．
16．若函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求在上的最值；
（II）对任意，恒有成立，求实数的取位范围.
18．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有％的把握认为平均车速超过的人与性别有关．
| 平均车速超过人数 | 平均车速不超过人数 | 合计 |
男性驾驶员人数 |
|
|
|
女性驾驶员人数 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
（II）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
参考公式与数据：
，其中.
19．（12分）在三棱柱中，侧棱底面，分别是、、的中点，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21．（12分）已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线的参数方程是 （是参数， ），直线的参数方程是 （是参数），曲线与直线有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（I）求曲线的极坐标方程；
（II）若点，，在曲线上，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（I）若不等式的解集为，求实数的值；
（II）当 时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C
9．A 10．B 11．B 12．B
13． 14．或1或0 15． 16．
17．（1）因为，所以，令，解得或，
因为在上，所以在上单调递减；在上单调递增，
又因为，，，
所以，当时，的最大值为4；当时，的最小值为.
（2）因为，结合的图象：
令，解得，
所以m的取值范围是.
18．（Ⅰ）
| 平均车速超过人数 | 平均车速不超过人数 | 合计 |
男性驾驶员人数 | 40 | 15 | 55 |
女性驾驶员人数 | 20 | 25 | 45 |
合计 | 60 | 40 | 100 |
因为，
所以有％的把握认为平均车速超过与性别有关；
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为．
X可取值是0，1，2，3，，有：
，，
，，
X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
．
19．（Ⅰ）因为，，所以，
又侧棱底面，所以，，
所以平面，而平面，
所以．
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可知，，，
以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，设面的法向量为，
则由得即令得．
又由题可知面的法向量． 所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
20．（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为，
因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去），
由，解得，所以抛物线的方程为
(II)由（Ⅰ）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，
故可设直线的方程为，
代入抛物线方程得，由题意知，得.
设，则，，当时，，
可得直线的方程为，
由，整理可得，所以直线恒过点，
当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.
21．（1）函数的定义域为，
①当时，，所以在上单调递增,
②当时，令，解得：
当时，， 所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增,
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增;
（2）当时，，要证明，即证，即,
设则，令得，,
当时，，当时，所以为极大值点，也为最大值点
所以，即故当时，;
（3）由（2）（当且仅当时等号成立）,令， 则 ,
所以,
即所以.
22．（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y＝2，令y＝0，得x＝2．
∵曲线C的参数方程是（为参数，a＞0），消去参数得，
把点（2，0）代入上述方程得a＝2．∴曲线C普通方程为．
（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，
∴==
=．
23．（1）由题意得出关于的方程的两根分别为和，则，即，解得；
（2）当时，由绝对值三角不等式得，
又对一切实数恒成立，所以，
令，化简得，解得，所以，实数的取值范围为.
