【数学】四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数满足，则=
A． B． C． D．
3．在某项测试中，测量结果与服从正态分布，若，则
A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.21
4．已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为
A． B． C． D．
5．若“直线与圆相交”，“”；则是
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖
丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的
成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是
A．甲和丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丙
8．的展开式存在常数项，则正整数的最小值为
A．5 B．6 C．7 D．14
9．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是
A． B． C． D．
10．已知是定义在上的函数，且对于任意，不等式恒成立，则整数的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
11．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为
A． B． C． D．
12．已知函数在上恒不大于0，则的最大值为
A． B． C．0 D．1
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．_________.
14．已知随机变量服从二项分布，则__________．
15．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为________.
16．若是函数的极值点，则在上的最小值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．(12分)我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知，，金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.
（I）求m，n值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“高消费群”与性别有关？
| 高消费群 | 非高消费群 | 合计 |
男 |
|
|
|
女 | 10 |
| 50 |
合计 |
|
|
|
附：，其中
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
K>K0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
18．(12分)已知函数.
（I）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（II）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
19．(12分)随着智能手机的普及，各类手机娱乐软件也如雨后春笋般涌现. 如表中统计的是某手机娱乐软件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注册用户数，记月份代码为（如对应于2018年8月份，对应于2018年9月份，…，对应于2019年4月份），月新注册用户数为（单位：百万人）
（I）请依据上表的统计数据，判断月新注册用户与月份线性相关性的强弱；
（II）求出月新注册用户关于月份的线性回归方程，并预测2019年5月份的新注册用户总数.
参考数据：，，.
回归直线的斜率和截距公式：，.
相关系数（当时，认为两相关变量相关性很强. ）
注意：两问的计算结果均保留两位小数
20．(12分)如图，矩形ABCD中，，，点F、E分别是BC、CD的中点，现沿AE将折起，使点D至点M的位置，且.
（I）证明：平面MEF；
（II）求二面角的大小.
21．(12分)已知函数.
（I）当时，求函数在点处的切线方程；
（II）若函数有两个不同极值点，求实数的取值范围；
（III）当时，求证：对任意，恒成立.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．
（I）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？
（II）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．若上的点对应的参数为，点在上，点为的中点，求点到直线距离的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
若关于的不等式在实数范围内有解.
（I）求实数的取值范围；
（II）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.
参考答案
1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．C
9．C 10．A 11．C 12．A
13． 14． 15．3 16．
17．（1）由题意知 且
解得
所求平均数为：
(元)
（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：
| 高消费群 | 非高消费群 | 合计 |
男 | 15 | 35 | 50 |
女 | 10 | 40 | 50 |
合计 | 25 | 75 | 100 |
根据上表数据代入公式可得
所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.
18．（1）由得，
在上单调递增，，
的取值范围是.
（2）存在，使不等式成立，
存在，使不等式成立.
令，从而，
，
，
在上单调递增， .
实数的取值范围为.
19．（1）由题意得， ，
， ，
，
故.
因为，所以月新注册用户与月份的线性相关性很强.
（2）由（1），
，所以回归方程为，
令，得，即2019年5月份新注册用户预测值为10.06百万人.
20．（1）证明：由题设知：，又，，AM，面AMF，
∴面AMF，面AMF，∴，
在矩形ABCD中，，，E、F为中点，
∴，，，
∴，∴，
又∵面MEF，∴面MEF.
（2）以F为原点，FE为x轴，FA为y轴建立如图的空间坐标系，
在中，过M作于N，，，，
∴，，
∴、、、，
面AFE的一个法向量为，设面AME的一个法向量为，、，由，即，令，则，，
∴，∴，，二面角为.
21．（1）当时，．
∴ ∴，又∵
∴，即 ∴函 数 在点处的切线方程为．
（2）由题意知，函数的定义域为， ，
令，可得，
当时，方程仅有一解，∴，
∴ 令
则由题可知直线与函数的图像有两个不同的交点．
∵∴当时，，为单调递减函数；
当时，，为单调递增函数．
又∵，，且当时，∴，∴
∴实数的取值范围为．
（3）∵∴要证对任意，恒成立
即证成立
即证成立设
∴∵时，易知在上为减函数
∴
∴在上为减函数∴
∴成立即对任意，恒成立．
22．（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆，
的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．
（2）由已知得，设，则，
直线：，
点到直线的距离，
所以，即到的距离的最小值为．
23．解：（Ⅰ）因为所以
又因为
所以
（Ⅱ）由（1）可知，,则
方法一：
方法二：利用柯西不等式
