【数学】四川省泸县第四中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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高二下学期期中考试（文）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．若是虚数单位，，则实数
A． B． C．2 D．3
3．命题“对，都有”的否定为
A．对，都有 B．，使得
C．，使得 D．，使得
4.若，则的值为
A. B. C. D.
5．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：
x | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 |
y | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为
A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.2
6.已知双曲线的渐近线方程是，则的离心率为
A. 或2 B. C. D. 或
7．设，是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
8.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于点和，则线段的长度是
A. 8 B. 4 C. 6 D. 7
9．设函数定义如下表：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
1 | 4 | 2 | 5 | 3 |
执行如图所示的程序框图，则输出的的值是
A．4 B．5 C．2 D．3
10．已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点，若抛物线的焦点为，且，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是
A． B．
C． D．
12．定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．.，则________
14.设，满足约束条件，则的最小值为 ．
15．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是 ．
16．在“数学发展史”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测:甲说：我的成绩比乙高；乙说：丙的成绩比我和甲的都高；丙说：我的成绩比乙高； 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人中预测正确的是________.
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知函数()=In(1+)-+(≥0)．
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间．
18．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：
| 对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 |
对车辆状况好评 | |||
对车辆状况不满意 | |||
合计 |
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？
（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过转赠给好友.某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券.现该用户从这张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率.
参考数据：
参考公式：，其中.
19．（12分）在三棱锥 底面，， 是的中点，是线段上的一点，且，连接，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过右焦点作直线交椭圆于，两点，的周长为，点.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率，，请问是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.
21．已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为.
（I）求曲线的参数方程；
（Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于和，且点在第一象限，当四边形周长最大时，求直线的普通方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知.
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．D 7．D 8．A 9．B 10．D
11．C 12．D
13． 14．2 15． 16．甲.
17．
（II）
当时，得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时得单调递增区间是.
当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是
18．解：（1）由列联表的数据，有
.
因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.
（2）把张一元券分别记作，，其余张券分别记作，，.
则从张骑行券中随机选取张的所有情况为：，，，，，，，，，.共种.
记“选取的张中至少有张是一元券”为事件，则事件包含的基本事件个数为.
∴.所以从张骑行券中随机选取张转赠给好友，选取的张中至少有张是一元券的概率为.
19．（1）因为，所以.又，，
所以在中，由勾股定理，得.
因为，所以是的斜边上的中线.所以是的中点.又因为是的中点，所以直线是的中位线，所以.
又因为平面，平面，所以平面
（2）由（1）得，.又因为，.
所以.又因为，
所以.易知，且，
所以.
设点到平面的距离为，
则由，得，即，
解得.即点到平面的距离为.
20．（1）由的周长为，得到，即.
又因为，所以，故，所以椭圆的方程为.
（2）当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，，，
把直线的方程代入，得，
则，，
因为，
而
即．当直线与轴垂直时，，即，所以，即是定值.
21．(1) 由于，所以.
当，即时，；
当，即时，.
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2) 令，要使总成立，只需时.
对求导得，
令，则，()
所以在上为增函数，所以.
对分类讨论：
① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；
② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；
③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.
考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.
22．（Ⅰ），（为参数）．
（Ⅱ）设四边形的周长为，设点，
，
且，，
所以，当（）时，取最大值，此时，
所以，，，
此时，，的普通方程为．
23．（1）依题意，得.
当时，由，得，即，所以；
当时，由，得，所以；
当时，由，得，即，所以.
综上所述，不等式的解集为.
（2）依题意，得，即，所以.
所以在恒成立，所以
所以，所以实数的取值范围为.
