【数学】山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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高二下学期期中考试（文）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）
1.已知集合 ,，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数z满足，则=（ ）
A. B. C. D.
3.极坐标系中，圆到直线的距离最大值为 （ ）
A. B. C. D.
4.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ）
A． B． C． D．
5.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用(万元） | 4 | 2 | 3 | 5 |
销售额 (万元） | 49 | 26 | 39 | 54 |
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A． 63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
6.用反证法证明结论为“自然数中恰有一个偶数”的某命题时，应假设（ ）
A．都是奇数 B．都是偶数
C．中至少有两个偶数 D．中至少有两个偶数或都是奇数
7.在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( )
A. B. C. D.
8.化极坐标方程为直角坐标方程为( )
A． B． C． D．
A．[2，+∞） B．（1，2） C．（1，2] D．（2，+∞）
10.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
11、已知定点（2，3），为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则 的最小值为 （ ）
A.5 B.4.5 C.3.5 D.不能确定
12、函数在点处的切线率2，则 的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若复数是纯虚数，则实数a的值为 .
14.函数f（x）=x-lnx的单调减区间为 ．
16.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示.下列关于的命题：
0 | 4 | 5 | ||
1 | 2 | 2 | 1 |
①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数有个零点。
其中正确命题的个数有 个.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.（10分）在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线与圆交于点，求线段的长.
18.（12分）在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．
19.（12分）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服药的共有55个样本，服药但患病的仍有10个样本，没有服药且未患病的有30个样本．
（1）根据所给样本数据完成2×2列联表中的数据；
（2）请问能有多大把握认为药物有效？
21.（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当k=时，求△OAB的面积．
22（12分）已知函数.
（1）求函数的的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数的取值范围.
参考答案
一、选择题DCBCB DBCAD CB
二、填空题13. 1 14. 15. 16. 2
三、解答题
17.【答案】（1）；（2）.
试题分析：（1）由，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程代入，得到，所以.
试题解析：（1）可化为，
故其极坐标方程为.
（2）将代入，得，
∴，，∴.
18.【答案】(1),；(2)．
试题分析：(1)利用把普通方程化为极坐标方程；(2)利用直线参数方程的几何意义,求出,再算出的面积．
试题解析：（1）因为的极坐标方程为,的极坐标方程为．
（2）将代入,得，解得,因为的半径为，则的面积．
19.解：（1）解依据题意得，服药但没有病的45人，没有服药且患病的20可列下列22联表
| 患病 | 不患病 | 合计 |
服药 | 10 | 45 | 55 |
没服药 | 20 | 30 | 50 |
合计 | 30 | 75 | 105 |
（2）假设服药和患病没有关系，则Χ2的观测值应该很小，而Χ2==6.109．6.109＞5.024，由独立性检验临界值表可以得出，有97.5%的把握药物有效．
20.解 (1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(1，)，所以＋＝1.①又因为离心率为，所以＝，所以＝.②解①②得，a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线的倾斜角为时，A(－1，)，B(－1，－)，＝|AB|×|F1F2|＝×3×2＝3≠.
当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，代入＋＝1，得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以＝|y1－y2|×|F1F2|
＝|k|＝|k|＝＝，
所以17k4＋k2－18＝0，
解得k2＝1(k2＝－舍去)，所以k＝±1，所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
21.解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，
消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4
即有x1x2+y1y2=0，则=0，即有OA⊥OB；
（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，
∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，
∴S△OAB=|OA||OB|=××2=3．
22.【答案】（1）当时，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数；（2）．
试题解析：（1）函数的定义域为，
当时，在上是增函数，
当时，若时，有，
若时，有，则在上是增函数，在上是减函数.
（2）由（1）知时，在上是增函数，而不成立，故，又由（1）知的最大值为，要使恒成立，则即可，即，得.
