【数学】江西省萍乡市湘东中学2019-2020学年高二下学期线上期中能力测试（文）（解析版）

江西省萍乡市湘东中学2019-2020学年

高二下学期线上期中能力测试（文）

▲请悉知：

1.出题人： 2.使用年级：高二下学期

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数与互为共轭复数，则（  ▲   ）

A． B． C． D．

2．下列表述正确的是（  ▲   ）

①归纳推理是由部分到整体的推理

②归纳推理是由一般到一般的推理

③演绎推理是由一般到特殊的推理

④类比推理是由特殊到一般的推理

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理

A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤

3．已知回归方程，试验得到一组数据是，，，则残差平方和是（  ▲  ）

A． B． C． D．

4．下列四个命题中，真命题为（ ▲   ）

A．， B．，

C．， D．，

5．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（  ▲   ）

A． B． C． D．

6．曲线在点处的切线的倾斜角为（  ▲   ）

A． B． C． D．

7．在中，已知：三个内角，，成等差数列，，则是的（  ▲   ）

A．充要条件  B．必要不充分条件

C．充分不必要条件  D．既不充分也不必要条件

8．已知是虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ▲   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9．某次班委选举需要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一正一副两位班长，现有三条明确信息:①若甲是班长，则丙不是班长；②若乙是班长，则丁也是班长；③若丙不是班长，则丁也不是班长，据此可判断这次选举选出的班长是（  ▲  ）

A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．丙和丁

10．要证成立，，应满足的条件是（  ▲  ）

A．且  B．且

C．且  D．，或，

11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（  ▲   ）

参考公式：

A．人 B．人 C．人 D．人

12．直线恒过定点，若点是双曲线的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（  ▲   ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．为了对，两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型分别计算出甲模型的相关指数为，乙模型的相关指数为，则    ▲    （填“甲”或“乙”）模型拟合的效果更好．

14．给出下列演绎推理：“自然数是整数，    ▲    ，所以是整数”，若推理是正确的，请填写横线部分．

15．已知复数，则    ▲    ．

16．已知函数，其中，若恒成立，则实数的取值范围为    ▲    ．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在一段时间内，分次调查，得到某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据为：

附：，，，．

（1）画出散点图；

（2）求出关于的线性回归方程；

（3）若价格定为万元，预测需求量大约是多少？（精确到）．

18．（12分）已知，，，，且，，求证：，，，中至少有一个是负数．

19．（12分）已知复数．

（1）求；

（2）若，求实数，的值．

20．（12分）随着电子商务的发展，人们的购物习惯正在改变，基本上所有的需求都可以通过网络购物解决．小韩是位网购达人，每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价，现对其近年的次成功交易进行评价统计，统计结果如下表所示：

（1）是否有的把握认为商品好评与服务好评有关？请说明理由；

（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这次交易中取出次交易，并从中选择两次交易进行观察，求只有一次好评的概率．

附：临界值表

参考公式：，．

21．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线

交椭圆于不同的两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围．

22．（12分）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的值域．

参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】∵与互为共轭复数，∴，，则．

2．【答案】C

【解析】归纳推理，就是从个别到一般，由部分到整体的推理，故①对②错，

演绎推理是由一般到特殊的推理，故③对，

类比推理是由特殊到特殊的推理，故④错⑤对．

3．【答案】C

【解析】因为残差，

所以残差的平方和为．

4．【答案】C

【解析】因为对于任意实数，总有，所以对所有实数均成立．

5．【答案】B

【解析】由题意知，解得．

6．【答案】B

【解析】设切线的倾斜角为，

因为，故有，所以，故选B．

7．【答案】A

【解析】若，，成等差数列，则，

又，所以，

反之，若，则，则，，成等差数列，故选A．

8．【答案】A

【解析】∵，

∴，

∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．

9．【答案】D

【解析】若甲是班长，则由①可知，丙不是班长，再由③可知丁也不是班长，

∴乙是班长，与②矛盾；

若乙是班长，再由②可得丁也是班长，∴甲、丙不是班长，这与③矛盾．

综上可知，丙和丁是班长，故选D．

10．【答案】D

【解析】要使成立，只要，

只要，只要，

即只要，故只要且，或且．

11．【答案】B

【解析】设男生人数为，女生人数为，列联表如下：

则，

因为人数为整数，故选B．

12．【答案】D

【解析】∵，所以定点为，

设这条弦与双曲线的两交点分别为，，

则有，，

两式相减得，得，

所以弦所在直线斜率，

利用点斜式可得弦所在的直线方程为．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】甲

【解析】相关指数越接近1，表明拟合效果越好，

∵，∴甲模型拟合效果更好．

14．【答案】是自然数

【解析】由演绎推理的三段论可知：“自然数是整数，是自然数，所以是整数”．

15．【答案】

【解析】∵，∴．

16．【答案】

【解析】由，得，

又函数的定义域为且，

当时，；当时，，

故是函数的极小值点，也是最小值点，且，

要使恒成立，需，则，

∴的取值范围为．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）．

【解析】（1）散点图如图所示：

（2）因为，，，，

所以，，

故关于的线性回归方程为．

（3）当时，．

18．【答案】证明见解析．

【解析】假设，，，都是非负数，

∵，∴，

又，

∴，这与已知矛盾，所以假设不成立，

∴，，，中至少有一个是负数．

19．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴．

（2）∵，

∴．

20．【答案】（1）有的把握认为；（2）．

【解析】（1）由上表可得，

所以有的把握认为商品好评与服务好评有关．

（2）由表格可知对商品的好评率为，若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这次交易中取出次交易，则好评的交易次数为次，不满意的次数为次．

令好评的交易为，，，不满意的交易，，

从次交易中，取出次的所有取法为，，，，，，，，，共计种情况，

其中只有一次好评的情况是，，，，，共计种情况，

因此，只有一次好评的概率为．

21．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，得，∴，

依题意设椭圆方程为，把点代入得，

∴椭圆方程为．

（2）联立，得，

由，解得，

∴的取值范围是．

22．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，所以切点为，

又因为，所以，

即切线斜率，所以切线方程为，

即在点处的切线方程为．

（2）令，

因为，所以，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，

又因为，，所以，

所以在上的值域为．