【数学】江西省萍乡市湘东中学2019-2020学年高二下学期线上期中能力测试（理）（解析版）
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高二下学期线上期中能力测试（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，是虚数单位，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．若函数，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．若复数（为虚数单位），则（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．三角形的面积为，其中，，为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ▲ ）
A．
B．
C．，（为四面体的高）
D．，（，，，分别为四面体的四个面的面积，为四面体内切球的半径）
5．函数的极值点为（ ▲ ）
A． B． C．或 D．
6．定积分（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次．甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”．成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（ ▲ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．函数的单调递增区间为（ ▲ ）
A． B． C． D．
10．如图，阴影部分的面积是（ ▲ ）
A． B． C． D．
11．若函数在区间内是减函数，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ▲ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． ▲ ．
14．将正整数有规律地排列如下：
……………
则在此表中第行第列出现的数字是 ▲ ．
15．函数在上的最大值是 ▲ ．
16．已知函数在无极值，则在上的最小值是 ▲ ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数．
（1）若，为纯虚数，求的值；
（2）若，求，的值．
18．（12分）已知函数在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求的单调区间与极值．
19．（12分）设函数在点处有极值．
（1）求常数，的值；
（2）求曲线与轴所围成的图形的面积．
20．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①；
②；
③；
④；
⑤．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
21．（12分）已知函数．
（1）判断在定义域上的单调性；
（2）若在上的最小值为，求的值．
22．（12分）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由，∴，故选D．
2．【答案】C
【解析】由于，∴，故选C．
3．【答案】C
【解析】复数，根据模长的公式得到，故选C．
4．【答案】D
【解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，
根据三角形的面积的求解方法：
分割法，将与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以为顶点，
分别以四个面为底面的个三棱锥体积的和，∴，
故选D．
5．【答案】B
【解析】，
函数在上是增函数，在上是减函数，
∴是函数的极小值点，故选B．
6．【答案】D
【解析】，故选D．
7．【答案】C
【解析】由的图象可得：
当时，，∴，即函数单调递增；
当时，，∴，即函数单调递减；
当时，，∴，即函数单调递减；
当时，，∴，即函数单调递增，
观察选项，可得C选项图像符合题意，故选C．
8．【答案】A
【解析】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；
当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件；
当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件；
当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件，
故选A．
9．【答案】A
【解析】，令，解得，
∴函数的单调增区间是，故选A．
10．【答案】D
【解析】，故选D．
11．【答案】C
【解析】，，
∵函数在区间内是减函数，
∴导函数在区间内小于等于，即，故选C．
12．【答案】A
【解析】令，则，
∴，∴函数为上的偶函数．
∵当时，都有成立，∴，
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
，即，
∴，因此，
∴，化为，解得，故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】．
14．【答案】
【解析】依题意可知第行有个数字，
前行的数字个数为个，可得前行共个，
∵，即第行最后一个数为，
∴第行第列出现的数字是，故答案为．
15．【答案】
【解析】函数，，令，解得．
∵，函数在上单调递增，在上单调递减；
时，取得最大值，，故答案为．
16．【答案】
【解析】
，
∵时一定有根，，即，
∴要使无极值，则，此时恒成立，
即单调递减，故在区间上，的最小值为．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）∵为纯虚数，∴，
又，∴，，从而，
因此．
（2）∵，∴，即，
又，为实数，∴，解得．
18．【答案】（1）；（2）的单增区间为，的单减区间为，，无极大值．
【解析】（1），根据题设得方程组，解得．
（2）由（1）可知，令，（舍去），
当时，；当时，，
∴的单增区间为，的单减区间为，
，无极大值．
19．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题意知，且，
即，解得，．
（2）如图，由（1）问知．
作出曲线的草图，所求面积为阴影部分的面积．
由，得曲线与轴的交点坐标是，和，
而是上的奇函数，函数图象关于原点中心对称，
∴轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等．
∴所求图形的面积为．
20．【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解析】（1）．
（2）三角恒等式为：，
．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由题意得的定义域为，．
①当时，，故在上为增函数；
②当时，由，得；由，得；
由，得，
∴在上为减函数，在上为增函数；
∴当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数．
（2）∵，．
由（1）可知：
①当时，在上为增函数，，得，矛盾；
②当时，即时，在上也是增函数，，
∴（舍去）；
③当时，即时，在上是减函数，在上是增函数，
∴，得（舍去）；
④当时，即时，在上是减函数，有，
∴，
综上可知：．
22．【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）．
【解析】（1），令，解得，
当，，则函数在上单调递减；
当，，则函数在上单调递增．
（2）令，
根据题意，当时，恒成立，
．
①当，时，恒成立，
∴在上是增函数，且，∴不符合题意；
②当，时，恒成立，
∴在上是增函数，且，∴不符合题意；
③当时，∵，∴恒有，故在上是减函数，
于是“对任意都成立”的充要条件是，
即，解得，故．
综上，的取值范围是．
