2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（五）数学（理）试题
展开2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（五）
理科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设,,，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的两个实轴顶点为，点为虚轴顶点，且，则双曲线的离心率的范围为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，函数在区间上单调，且的最大值是，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
7．如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
8．设是的对角线的交点，三角形的高为2，为任意一点，则 （ ）
A．6 B．16 C．24 D．48
9．设满足约束条件，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知数列满足,，
则展开式中的常数项为 （ ）
A． B． C．80 D．160
11．如图，已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．已知抛物线，是上的一点，若焦点关于的对称点落在轴上，则 .
14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为
其中为上底边长，为下底边长，为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有层，最下层(即下底)由个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：根据以上材料，我们可得 .
15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为，则俯视图的面积为 .
16．在中，分别是的中点，且，若的面积不小于，则的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）已知数列的前项和记为,，；
等差数列中，且的前项和为，.
（1）求与的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和.
18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.
（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：
| 京剧票友 | 一般爱好者 | 合计 |
50岁以上 | 15 | 10 | 25 |
50岁以下 | 3 | 12 | 15 |
合计 | 18 | 22 | 40 |
试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？
（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜次，求随机变量的分布列与期望.
参考数据：
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
19．（12分）在如图（1）梯形中，，
过作于，，沿翻折后得图（2），使得，又点满足，连接，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点为，左右两顶点，点为椭圆上任意一点，满足直线的斜率之积为，且的最大值为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与轴的交点为,过点的直线与椭圆相交与两点，连接点并延长,交轨迹于一点.求证：.
21．（12分）已知函数在点处的切线方程为.
（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）设，对于，的值域为，若，求实数的取值范围.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
已知直线的普通方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，将直线向右平移2个单位后得到直线，又点的极坐标.
（1）求直线以及曲线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求三角形的面积值.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数
（1）若，求不等式的解集；
（2）当时，若的最小值为2，求的最小值.
2020届模拟05理科数学答案与解析
1．【答案】B【解析】因为，所以．
2．【答案】C【解析】由得，所以，所以对应的点在第三象限.
3．【答案】A【解析】因为幂函数在区间上是奇函数，所以，
即，因为，又为增函数，所以.
4．【答案】A【解析】根据题意，，所以为钝角，所以，所以.
5．【答案】C【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；，
所以.
6．【答案】D【解析】
，
由题意：,,，即，
所以.
7．【答案】C【解析】输入的，程序框图运行如下：
，;，；
，;，；
，；
，；
，；所以输出的
8．【答案】B【解析】因为，在向量的射影为，
所以.
9．【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图，
令，则表示点和两点的距离，由图可得，,
联立，解得，所以
过作于，则，故.
10．【答案】D【解析】因为，所以数列为等比数列，所以，所以，
所以，其中展开式的第r+1项为,令，得（舍去），令可得，所以二项式展开式中常数项为．
11．【答案】B【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为，所以几何体的体积为.
12．【答案】B【解析】当时，，所以，又时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，
.;
，所以的值域为，设与相切时的切点为，所以切线方程为，代入，得，
故切线的斜率为，所以与的图象如下：
根据题意，，故，所以实数的取值范围为.
13．【答案】6【解析】根据题意，为的中点，所以的横坐标为，所以.
14．【答案】【解析】观察规律令，可得.
15．【答案】【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为，几何体的体积为，即点到平面的距离为，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为，
16．【答案】【解析】根据题意，画出图形，如图所示：
又点分别为的中点，则，
所以在中，由余弦定理得
,，
所以，
又若的面积不少于6，
所以
当取最大时，有最小值，最小值为.
17．【解析】
（1），
又，，所以数列为等比数列，（3分）
设数列的公差为，.（6分）
（2）由题意得：（9分）
所以前项和.（12分）
18．【解析】
（1）因为，（3分）
所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.
（5分）
（2）由题意，随机变量的取值分别为.（6分）
,，
,，（10分）
随机变量的分布列为：
2 | 3 | 4 | 5 | |
（11分）
随机变量的期望为：.（12分）
19．【解析】
（1）连接与交于点，，则
，，（2分）
又平面，平面，
∴平面.（4分）
（2）证明：由，得四边形为平行四边形，所以，，所以，
所以，（6分）
又，所以平面，所以，
又，平面ADE.（8分）
以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，（9分）
设平面BMD的一个法向量为，
所以
令，则，（10分）
又平面得一个法向量为，（10分）
所以，
又平面与平面所成的二面角显然为锐角，
所以平面与平面所成的二面角的余弦值.（12分）
20．【解析】
（1）根据题意，（1分）
又设，所以，所以，（3分）
故，从而椭圆的标准方程为.（4分）
（2）根据题意，，所以设直线的方程，
联立，消得，
，即.
设，则.
由根与系数的关系得，.（7分）
设直线的方程为，
所以，得，
.（10分）
所以
故，所以.（12分）
21．【解析】
因为，所以，
又，故.（2分）
（1）由题意得，若函数存在单调减区间，
则即存在取值区间，
即存在取值区间，所以.（5分）
（2）因为，所以
①当时，，在上单调递减，由，
所以，即，得；（7分）
②当时，，在上单调递增，
所以，即，得，（8分）
③当时，在，，在上单调递减，
在，，在上单调递增，
所以，即.（10分）
令,，则，所以在上单调递减，
故，而，所以不等式（）无解，
综上所述，.（12分）
22．【解析】
（1）直线的普通方程为，直线的极坐标方程，（3分）
曲线的普通方程，
所以.（5分）
（2）由（1）得，
所以，（8分）
点到直线的距离为，所以.（10分）
23．【解析】
（1）根据题意，
，（3分）
解，或，得或，
所以解集为.（5分）
（2）因为，
当且仅当时，等号成立，（8分）
又，所以，
所以的最小值为，所以.所以
.（10分）
