安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三6月模拟考试数学（文）试卷

文科数学

考试时间120分钟 ，满分150分。仅在答题卷上作答。

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.设集合， ，则

A.                                                                   B.

C.                                                          D.

2.设复数z=+i（i为虚数单位），则|z|=
A.           B.           C.             D.2

A.                B. 2      C.          D. 1

4.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于

A.       B.            C.                   D.

5.设为等差数列的前项和,且,则

A. 28       B. 14               C. 7           D. 2

6.已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为

A.           B.                 C.              D.

7.某校李老师本学期任高一A班、B班两个班数学课教学，两个班都是50个学生，下图反映的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，下列不正确的结论是

A. A班的数学成绩平均水平好于B班

B. B班的数学成绩没有A班稳定

C. 下次B班的数学平均分高于A班

D. 在第一次考试中，A、B两个班总平均分为78分

8.如图， 直线经过函数（，） 图象的最高点和最低点，则

A. ， B. ，  C. ， D. ，

9.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为

A.              B.   C.                  D.

10.函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为

A. B.

  C. D.

11.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若 ,，则的大小关系是

A.                       B.                    C.                          D.

12.若函数的定义域为R，其导函数为．若恒成立， ，则解集为

A.     B.     C.     D.

第II卷   非选择题（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13.已知，且，则_________________.

14.若满足，则的最小值为______．

15.椭圆的右焦点为，左顶点为，线段的中点为，圆过点，且与交于， 是等腰直角三角形，则圆的标准方程是____________

16.已知是两个不同的平面， 是两条不同的直线，有下列命题：

①若平行于同一平面，则与平行；

②若， ，则；

③若不平行，则在内不存在与平行的直线；

④若， ，则且；

⑤若， ，则与所成角等于与所成角.

其中真命题有__________．（填写所有正确命题的编号）

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)            

17. （本题12分）

已知数列满足，，设．

（1）求，；

（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；

（3）求．

18. （本题12分）

“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：

“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；

“江南梅雨无限愁”.镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量（/亩）与降雨量的发生频数（年）如列联表所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？

（完善列联表，并说明理由）.

（参考公式：，其中）

19. （本题12分）

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，.

（1）求证：面面；

（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求三棱锥的体积.

20. （本题12分）

已知点是抛物线的焦点，点是抛物线上一点，且，的方程为，过点作直线，与抛物线和依次交于.（如图所示）

（1）求抛物线的方程；

（2）求的最小值.

21. （本题12分）

已知函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若的极小值点，求实数a的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，解答时请写清题号。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程；

若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于， 两点，弦的中点为，求的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）

若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.

（1）求；

（2）若正实数满足，求的最小值.

参考答案

1.C【解析】因为，

所以，选C.

2.C【解析】复数z=
则|z|= ． 故选：C．

3.A【解析】由题意结合可设，

则由,得|(x,y)−(1,1)|=|(1,−1)|，

据此可得：(x−1)2+(y−1)2=2，

即对应点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，

∵圆过圆心，

∴的最大值为圆的直径，故选：A

4.A

【解析】

抠点法，在长方体中抠点,1.由正视图可知: 上没有点;

2.由侧视图可知: 上没有点; 3.由俯视图可知: 上没有点;4.由正（俯）视图可知: 处有点,由虚线可知处有点, 点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示, ,，故选.

5.B【解析】由等差数列的性质求得，利用等差数列的前项和公式结合等差的性质可得结果.

因为，

所以

，故选B.

6.B【解析】由奇函数的图象经过点先求出，的值，得到函数表达式；接下来分析该几何体为矩形绕轴旋转而得，进而判断出它是一个圆柱，设其半径为，结合题意即可表示出圆柱的体积，由基本不等式即可求出其最值.

由，及得，，，，

如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径，

令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根，

所以

于是圆柱的体积，

当且仅当，即时，等号成立.故选B

7.C【解析】A班的5次数学测试平均分分别为81,80,81,80,85，5次的平均分，B班的5次数学测试平均分分别为75,80,76,85,80，5次的平均分为，A班的数学平均分好于B班，选项A正确；由于A班的成绩都在80分附近，而B班的平均分变化很大，所以A班成绩稳定些，选项B正确；下次考试A，B班的平均分不能预料，所以选项C错误；在第一次考试中，总平均分为分，选项D正确，故选C.

8.A【解析】由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，

代入直线得其横坐标分别为和，

故，，得，故，故，

代入得，

故，所以

因为，所以，故选A．

9.D【解析】设，则，进而得最值.

由题意可知抛物线的方程为，圆恒的圆心为，半径为．

设，则

所以当时，切线长取得最小值，

此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选D．

10.D【解析】由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，

 且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，

 故选D.

11.B【解析】由于，所以.故选B.

12.D

【解析】由已知有，令，则，函数在R单调递减， ，由有，则，故选D.

13.

【解析】，且，

，

.故答案为

14.

【解析】

画出约束条件对应的平面区域如下图示：

由，可得，

将变形为，

平移直线，

由图可知当直经过点时，

直线在轴上的截距最大，

此时，目标函数有最小值：，故答案为．

15.

【解析】如图设A（﹣a，0），可得a＞1，c＝1，b2＝a2﹣1，

线段AF的中点为B（，0），

圆F的圆心为F（1，0），半径r＝|BF|，

设D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，﹣n），

由△BDE为等腰直角三角形，可得kBD＝1，

即1，即n＝m，

由D在圆F：（x﹣1）2+y2＝（）2上，

可得（m﹣1）2+（m）2＝（）2，

化简可得（m﹣1）（2m﹣1+a）＝0，

解得m＝1或m（舍去），

则n，

将D（1，）代入椭圆方程，可得

1，

化简可得a＝2或（舍去），

则圆F的标准方程为（x﹣1）2+y2，

故答案为：（x﹣1）2+y2．

16.②⑤

【解析】①还可以相交或异面；③若不平行，则相交，设，在内存在直线，使得，则；④还可能在平面内或平面内．

②⑤正确.

17.（1），；（2）是等比数列，理由详见解析；（3）.

【解析】数列满足，，

当时，，

解得：．

当时，

解得：．

当时，，

所以：．

则数列为以2为首项，2为公比的等比数列．

由和得：，

所以：，

，

，

．

18. 乙

【解析】频率分布直方图中第四组的频率为.

所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为

.

根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为.

进而完善列联表如图.

.

故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.

而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅.

19.（1）证明：因为，则，

又侧面底面，

面面，面，

则面

面，则

又因为，为平行四边形，

则，又

则为等边三角形，则为菱形，

则

又，则面，

面，则面面

（2）由平面把四面体分成体积相等的两部分，则为中点

由，，得

由知为菱形，则

又由知面，则

则

则

20.（1）；（2）．

【解析】由在抛物线上得，

又由得，

解得，，又，故.

所以抛物线的方程为.………………4分

由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为.

则圆心到直线的距离为，

.………………6分

设，，

由得，

则，由抛物线定义知，………………8分

.………………10分

设，则

，，

函数在上都是单调递增函数，

当时即时，有最小值.………………12分

21.（1）单调减区间为，单调增区间为  （2）

【解析】（1）由题

由，得

由，得；由，得

的单调减区间为，单调增区间为   

（2）， 

 因为是的极小值点，所以 ，即，

所以

1°当时，在上单调递减；

               在上单调递增；

所以是的极小值点，符合题意；

2°当时，

在上单调递增；

            在上单调递减；在上单调递增；

所以是的极小值点，符合题意；

3°当时， 在上单调递增，

无极值点，不合题意         

4°当时，

在上单调递增；

在上单调递减；

在上单调递增；

所以是的极大值点，不符合题意；

综上知，所求的取值范围为

22.(Ⅰ)曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为：

.(Ⅱ) .

【解析】由题意的方程为： 可得的普通方程为： ，

将代入曲线方程可得： .

因为曲线的极坐标方程为，

所以.

又， ， .

所以.

所以曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为：

.

因为点，化为直角坐标为所以.

因为直线过点且倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入中可得： ，

所以由韦达定理： ， ，

所以.

23.（1）（2）3

解析：（1）因为，所以，

又因为，所以，

从而实数的最大值.

（2）因为

，

所以，从而，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.’’