2020年安徽省淮南市高三第二次模拟考试理科数学卷及答案

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1．设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x2+mx+1≤0}，且A∩B＝{x|1≤x≤2}，则实数m＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
2．已知复数z＝a+i，其中a∈R，i是虚数单位，若z2＝|z|i，则a＝（ ）
A．0B．±1C．﹣1D．1
3．某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．75B．100C．150D．200
4．若，，则sinθ＝（ ）
A．B．C．D．
5．△ABC中，D是BC的中点，点E在边AC上，且满足，BE交AD于点F，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．函数f（x）＝xnax，其中a＞1，n＞1，n为奇数，其图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．执行如图所示的程序框图，当输出S＝210时，则输入的n值及①处条件为（ ）
A．6；n＜5？B．7；n＜5？C．7；n＜6？D．8；n＜5？
8．过点P（﹣2，0）的直线与抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B，AB的中点在直线x＝1上，且AB与圆x2+y2＝1相切，则p等于（ ）
A．B．2C．3D．4
9．正项等比数列{an}满足a1a3＝，2a4+a3＝a2，则＝（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|≤）部分图象如图所示，若对不同的m，n∈[x1，x2]，当f（m）＝f（n）时，总有f（m+n）＝1，则（ ）
A．x2﹣x1＝π，φ＝B．x2﹣x1＝，φ＝
C．x2﹣x1＝π，φ＝D．x2﹣x1＝，φ＝
11．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段CD1上的一个动点．现有以下命题：
①三棱锥B﹣A1EF的体积是定值；
②△AB1F的周长的最小值为（+）a；
③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值；
④异面直线AC1与B1F所成的角是定值．
其中真命题是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），对任意的实数x都有f'（x）＝f（x）﹣2e﹣x+2x﹣x2，f（0）＝2，则不等式
f（|x﹣1|）＜e2+e﹣2+4的解集是（ ）
A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，3）D．（e，3）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
13．十二生肖是中国及东亚地区的一些民族用来代表年份的十二种动物．顺序排列为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．生肖也称属相，常常用来代表人出生的年号．现有牛、虎、龙、马属相各1人，4人从吉祥物为牛、虎、龙、马、猴的5件饰物中随机选一件，则恰有2人选中与属相对应的饰物的概率为 ．
14．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，M是C的渐近线与圆x2+y2＝a的一个交点（点M位于第一象限），直线F2M与C在第四象限相交于点N，O是坐标原点，若|MN|＝|NF1|﹣|OF1|，则C的离心率为 ．
15．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，满足acsB+bcsA＝1，且a2+b2＝4S+1，则△ABC的外接圆半径为 ．
16．射线OA，OB，OC的两两夹角为60°，一系列球两两相切，且与平面AOB，平面BOC，平面AOC均相切．若相邻两球的球心为On，On+1，半径为rn，rn+1（rn＞rn+1），则rn，rn+1的关系式为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列{an}的各项均为正，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2+an（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+，若对任意的n∈N*，都有bn≥b3，求实数c的取值范围．
18．如图，已知AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AB＝AC＝AD＝EC．
（1）设P是直线BE上的点，当点P在何位置时，直线DP∥平面ABC？请说明理由；
（2）若∠BAC＝120°，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
19．为了落实“立德树人”的教育理念，丰富学生个性化成长的学习生活．学校有科技创新、健美体育、绿色家园、博雅辩论等四个学生社团计划招募成员．由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员．如表记录了四个社团的招募计划数及报名人数．
甲同学报名参加了这四个学生社团，记为甲同学最终被招募的社团个数，已知P（ξ＝0）＝，P（ξ＝4）＝．
（1）求甲同学至多获得三个社团招募的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求甲同学最终被招募的社团个数的期望．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为2，圆x2+y2＝2经过椭圆C短轴顶点和两个焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F作斜率为﹣的直线l交椭圆C于M、N两点，点G、H满足：＝．试问，是否存在点P，使得M、N、G、H四点到点P的距离均相等？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝．
（1）若f（x）在区间（0，1）上为单调递增函数，求a的取值范围；
（2）若a≤1，证明：f（x）≤x．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程（a∈R）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若l与C相交于A、B两点，且|AB|＝，求a的值．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．设函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+4|．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若不等式m+﹣f（x）≥0对任意正数m恒成立，求实数x的取值范围． 社团
计划人数
报名人数
科技创新
50
100
健美体育
60
m
绿色家园
n
160
博雅辩论
160
200