安徽省安庆市桐城市某中学2020届高三高考模拟考试数学（文）试卷
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数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：，
．
故选：D．
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
故选：B．
直接由复数代数形式的乘法运算化简得答案．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础题．
- 已知a，b都是实数，那么“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：a，b都是实数，那么“”“”反之不成立，例如：，．
“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
利用对数函数的单调性、幂函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．
本题考查了对数函数的单调性、幂函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
- 已知，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：已知 ，，
，则，
故选：D．
由题意利用两角和的正切公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值．
本题主要考查两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
- 已知实数满足约束条件，则的最小值为
A. 3 B. 1 C. 0 D.
【答案】C
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
令，化为，
联立，解得，
由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为0．
故选：C．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
- 已知正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则下列说法错误的是．
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
【答案】C
【解析】解：如图所示，连接和相交于点O，则O为、的中点，
对于A选项，连接OF、，则，因为平面，平面，所以平面，即A正确；
对于B选项，连接CE、，则，因为平面，平面，所以平面，即B正确；
对于C选项，因为，所以GE与平面相交，即C错误；
对于D选项，连接AE、，则，因为平面，平面，所以平面，即D正确；
故选：C．
根据题意画出立体图，并连接选项中所需线段，然后利用线面平行的判定定理逐一进行判断即可．
本题考查空间中线面平行的判定定理，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于基础题．
- 的最大值为
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】解：，
因为，
结合二次函数的性质可知，当时，函数取得最大值．
故选：D．
先用诱导公式及二倍角公式进行化简，然后就结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了二次函数的性质的应用．
- 已知函数是偶函数，则下列方程一定是函数的图象一条对称轴方程的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由为偶函数，图象关于y轴对称，
把的图象上所有点的横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位可得，故此时函数的图象关于对称．
故选：B．
根据已知偶函数的对称性及函数图象的变换可求．
本题主要考查了函数图象对称轴的求解，解题的关键是根据函数图象的变换．
- 执行如图所示的程序框图，输出S的值为
A. 3
B. 5
C. 9
D. 16
|
【答案】D
【解析】解：，，
第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，，，满足退出循环的条件；
故输出S值为16，
故选：D．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
- 一底面半径为2的圆柱形封闭容器内有一个半径为1的小球，与一个半径为2的大球，则该容器容积最小为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：依题意，要想容积最小，小球、大球的位置如图，
其中，，．
，
故圆柱的高为．
该容器容积最小为．
故选：C．
由题意画出图形，求出圆柱高的最小值，则答案可求．
本题考查旋转体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
- 已知点M，N是椭圆上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN斜率之积为，则椭圆C的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，
设，，，
，．
两式相减得：，即．
直线AM，AN斜率之积为，
，．
椭圆的离心率．
故选：D．
设，，，把A与M的坐标代入椭圆方程，利用点差法求得的值，再由椭圆离心率公式求解．
本题考查圆与椭圆的综合，考查数形结合的解题思想方法，训练了“点差法”的应用，是中档题．
- 已知函数的图象与的图象在有k个交点，分别记作，，，，则
A. 9 B. 10 C. 19 D. 20
【答案】C
【解析】解：，其定义域为R，该函数在R上为减函数，
又
，
的图象关于对称；
又的周期，且，
的图象也关于对称，
在同一坐标系中作出两个函数的图象如图，
在内有9个周期，
故．
故选：C．
由函数的奇偶性、周期性与对称性作出两个函数的图象，结合函数的周期，数形结合得答案．
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，作出函数图象是关键，是中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知平面向量，满足，，若，则实数的值为______
【答案】
【解析】解：平面向量，满足，，
若，则，
实数，
故答案为：．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，求出的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
- 已知双曲线的左右焦点分别为，，过作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为______
【答案】
【解析】解：可得．
，
根据的面积，可得．
可得，
则双曲线C的离心率为．
故答案为：．
可得．
根据的面积，可得可得，即可求解．
本题考查了双曲线的性质、离心率，属于中档题．
- 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围是______
【答案】
【解析】解：因为，
由正弦定理可得，
，，
因为，
由正弦定理可得，，
所以，，
则，
，
因为，所以，
，
所以．
故答案为：
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求C，然后结合正弦定理可用A表示a，b，结合和差角公式，辅助角公式化简后结合正弦函数的性质可求．
本题主要考考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
- 已知，则不等式的解集为______
【答案】或．
【解析】解：因为时，，
则，即此时函数单调递增，
又因为在时单调递增，且在端点0处，
因为，
当时，不等式显然成立，此时；
当时，可得，
所以，
整理可得，，
解可得，或
此时或，
综上可得，不等式的解集为或．
故答案为：或．
由已知函数解析式求出函数的单调性，然后结合单调性可求不等式的解集．
本题主要考查了不等式的求解，解题的关键是指数函数单调性的应用．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 已知数列，满足，且是等差数列
求的通项公式；
求数列的前n项和．
【答案】解：数列，满足，
则：，整理得，
且是等差数列，
所以公差，解得．
故．
由于，
整理得．
由得：
，
，
．
【解析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
- 千粒重是以克表示的一千粒种子的重量，它是体现种子大小与饱满程度的一项指标，是检验种子质量，也是田间预测产量时的重要依据．现随机从一堆小麦种子中数出20份一千粒种子，分别称重，得到重量单位：克落在各个小组的频数分布表如表：
分组重量 | |||||
频数份 | 1 | 3 | 9 | 5 | 2 |
求这20份小麦千粒重的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
根据千粒重的频数分布，求出20份小麦千粒重中位数的估计值x；
从重量在和的一千粒小麦种子随机抽取2份，求重量在和中各有1份的概率．
【答案】解：这20份小麦千粒重的样本平均数为：
．
根据千粒重的频数分布，得20份小麦千粒重中位数的估计值为：
．
从重量在和的一千粒小麦种子随机抽取2份，
重量在和的一千粒小麦种子分别有5份和2份，
基本事件总数，
重量在和中各有1份包含的基本个数，
重量在和中各有1份的概率．
【解析】利用频率分布表能求出这20份小麦千粒重的样本平均数．
根据千粒重的频数分布，能求出20份小麦千粒重中位数的估计值．
从重量在和的一千粒小麦种子随机抽取2份，基本事件总数，重量在和中各有1份包含的基本个数，由此能求出重量在和中各有1份的概率．
本题考查平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布表的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
- 如图所示，在三棱锥中，，，，点E为AD中点．
求证：平面平面BCE；
若点F在CD上，且，求三棱锥的体积．
【答案】证明：由，，得，
又点E为AD中点，，，
又，平面BCE，
而平面ACD，平面平面BCE；
解：若点F在CD上，且，则．
由，，得．
由，得平面ABD，
又，．
．
则．
【解析】由已知得，结合E为AD中点，得，，由线面垂直的判定可得平面BCE，从而得到平面平面BCE；
若点F在CD上，且，则，然后求出三棱锥的体积得答案．
本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
- 已知焦点为F的抛物线C：与圆O：交于点
求抛物线C的方程；
在第一象限内，圆O上是否存在点A，过点A作直线l与抛物线C交于点为第四象限的点，与x轴交于点D，且以点D为圆心的圆过点O，A，B？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：将点代入得，解得，
则抛物线C的方程为；
假设在第一象限内．圆O上存在点A，且以点D为圆心的圆过点O，A，B，
则，D为AB的中点，由题意可得直线OA的斜率存在且大于0，
设OA的方程为，则OB的方程为，
联立，解得，所以，
联立，解得，所以，
由D为AB的中点，可得，
整理得，方程无实数解，
则符合条件的k不存在，所以满足条件的A不存在．
【解析】将P点坐标代入两方程，解出p即可；
假设存在，设OA的方程为，则OB的方程为，分别与圆、抛物线方程联立解出A、B坐标，结合D为AB的中点，即可得到关于k的方程，故不存在
本题考查圆的方程和抛物线的方程的运用，直线和圆的方程、直线和抛物线方程联立，求交点，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
- 已知函数．
讨论的单调性；
判断方程在上的实根个数；
【答案】解：，
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
由知，，由得，
当时，由可知，在上没有实根；
当时，由可得在上没有实根；
当时，由可知，在上有一个实根；
当时，由可知，在是减函数，在是增函数，
由，，可得在上有一个实数根，
又，设，则，
在是增函数，
，
，，
在上有一个实数根；
综上可得，当时，在上没有实根；当时，在上有1个实数根；当时，在上有2个实数根．
【解析】求导后，可直接得出函数的单调性情况；
依题意，，接下来分，，及，结合零点存在性定理讨论即可得出结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数零点与方程根的关系，同时也涉及了零点存在性定理的运用，考查分类讨论思想及逻辑推理能力，解题时应充分挖掘题目隐含信息，从而有效解题，此题属于中档题．
- 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，点P是曲线上的动点，点Q在OP延长线上，且．
求点Q轨迹的参数方程；
以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线，与原点不重合的交点分别为A，B，求．
【答案】解：点Q在OP延长线上，且．
解得，．
代入曲线的参数方程为为参数，
可得：，即为点Q轨迹的参数方程．
以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线，与原点不重合的交点分别为A，B，
曲线的参数方程为为参数，化为：．
点Q轨迹的参数方程：，化为：．
射线即为：．
分别与曲线，，联立可得：，，
．
【解析】点Q在OP延长线上，且可得解得，代入曲线的参数方程为为参数，可得点Q轨迹的参数方程．
曲线的参数方程为为参数，利用平方关系可得：点Q轨迹的参数方程：，化为：射线即为：分别与曲线，，联立可得交点坐标，利用两点之间的距离公式可得．
本题考查了参数方程化为普通方程、弦长公式、一元二次方程的解法、平方关系、平面向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
- 已知．
若，求不等式的解集；
若存在，对任意恒有，求实数a的取值范围．
【答案】解：，不等式即为，
可得或或，
解得或或，
则原不等式的解集为或；
，
当时，取得最小值，
存在，对任意恒有，
可得任意恒有，
由，当且仅当取得等号，
则，解得．
【解析】由题意可得，由绝对值的意义去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；
由绝对值的意义和绝对值不等式的性质，可得的最小值，再由基本不等式可得的最小值，再由不等式恒成立思想，可得，意义绝对值不等式的解法可得所求范围．
本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
