湖南省永州市2020届高三上学期模拟考试 数学（文）

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷

数学(文科)

注意事项：

1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

2.考试结束后，只交答题卡。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z满足，则|z|＝

A.2    B.      C.3     D.2

2.已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，B＝{x|2x≤1}，则A∩B＝

A.(－2，1)     B.(－2，0)     C.(－2，0]     D.(－2，－1]

3.若{an}是等比数列，Sn为其前n项和，an>0，a2a4＝4，S3＝14，则其公比q等于

A.     B.     C.2     D.3

4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是

A.他们健身后，体重在区间[90kg，100kg)内的人数不变

B.他们健身后，体重在区间[100kg，110kg)内的人数减少了4人

C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg)

D.他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg

5.椭圆的左右顶点分别是A，B，左右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，| F1F2|，|F1B|成等差数列，则该椭圆的离心率为

A.     B.     C.     D.2

6.若等边△ABC的边长为l，点M满足，则＝

A.     B.2     C.2     D.0

7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与平面B1BCC1所成角的正切值为

A.1     B.      C.     D.

8.某程序框图如图所示，若输出的S＝41，则判断框内应填入

A.k>5?     B.k>6?     C.k>7?     D.k>8?

9.已知下列命题：

①“若x2＋x－2≠0，则x≠1”为真命题：

②命题p：x∈R，x2＋1>0，则p：x0∈R，x02＋1≤0；

③若(k∈Z)，则函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数；

④若>0，则与的夹角为锐角。

其中，正确命题的个数为

A.1     B.2     C.3     D.4

10.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图像如右图所示，且A(，l)，B(π，－1)，则φ的值为

A.     B.      C.－      D.－

11.已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，若双曲线右支上存在一点M，使得，则

A.     B.     C.2     D.

12.已知函数，若f(x)－mx≥0，则实数m的取值范围是

A.[0.2]     B.[－1，2]     C.[－ln3，2]     D.[－ln2，2]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x3－，则f(1)＝        。

14.已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P(，a)，则cos2α＝        。

15.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来。若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为          (容器壁的厚度忽略不计)。

16.数列{an}中，a1＝3，且(n≥2)，令，则数列{bn}的前2020项和S2020＝            。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17题～第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必做题：60分。

17.(本题满分12分)在△ABC中，∠ABC＝，点D在边AB上，BD＝2。

(1)若△BCD的面积为2，求CD；

(2)若cos∠BCA＝，cos∠DCA＝，求CD。

18.(本题满分12分)某单位共有职工2000人，其中男职工1200人，女职工800人为调查2019年“双十一”购物节的消费情况，按照性别采用分层抽样的方法抽取了该单位100人在“双十一”当天网络购物的消费金额(单位：百元)，其频率分布直方图如下：

(1)已知抽取的样本中，有3名女职工的消费不低于1000元，现从消费不低于1000元的职工中抽取3名职工进行购物指导，求抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率；

(2)在“双十一”当天网络购物消费金额不低于600元者称为“购物狂”，低于600元者称为“理性购物者”。已知在抽取的样本中有18名女职工消费不低于600元，请完成上图中的列联表，并判断能否有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关。

附：参考数据与公式

19.(本题满分12分)如图所示的几何体B－ACDE中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，DC⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，点M在线段BC上，且AM＝。

(1)证明：AM⊥平面BCD；

(2)若点F为线段BE的中点，且三棱锥F－BCD的体积为1，求CD的长度。

20.(本题满分12分)已知抛物线C：x2＝2y，过点(0，2)作直线l交抛物线于A、B两点。

(1)证明：OA⊥OB；

(2)若直线l的斜率为1，过点A、B分别作抛物线的切线l1，l2，若直线l1，l2，相交于点P，直线l1，l2交x轴分别于点M，N，求△MNP的外接圆的方程。

21.(本题满分12分)已知函数。

(1)若函数f(x)在定义域内是增函数，求实数a的取值范围；

(2)当a∈[1，e)时，求方程的根的个数。

(二)选考题：10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本题满分10分)

在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(其中t为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。

(1)写出直线C1的极坐标方程；

(2)设动直线l：y＝kx(k>0)与C1，C2分别交于点M、N，求的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](本题满分10分)

已知函数f(x)＝|x－2|。

(1)求不等式f(x)≤2x＋5的解集；

(2)已知a>0，记函数g(x)＝f(x＋1)－f(－x＋5)，且g(x)的最大值为M，求证：。

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷

数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

13．   14．    15．   16．

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解：（1）

            …………………………………………………………………… 3分

        在中，由余弦定理可得

          ………………………………………………………………… 6分

（2）

       ……………… 8分

    ，

，，………………………………………9分

   ………………………………………………………… 10分

在中，由正弦定理可得，

………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）消费不低于1000元的共有 人， ……………………………1分

其中女职工3人设为，男职工2人，设为.从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：

（），（），（），（），（），（），（）（），（），（）共10种情况.………………3分

其中至少有两名女职工包括7种情况.  …………………………………………4分

所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率 .  …………6分

（2）应抽取男职工： 人，抽取女职工：人，

………………………………………………………………8分

        （注：按表格前两行，一行数据全对时得1分）

， …………………………………………10分

因为

所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. ………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）平面，平面，  

………………………………………………………………………1分

在中，，，，

由得

……………………………………………………………………………3分

，即………………………………………………………5分

，平面，平面    

平面…………………………………………………………………6分

（2）取的中点，的中点,连接，,

，，   ……………………………………………7分

点为线段中点，

.  ………………………………………………………………………8分

平面， 平面，

，，…………………………………………………………9分

.

平面，平面

平面

点到平面的距离等于点到平面的距离   …………………10分

平面，

平面.

设，则

，即长为.  …………………………………………………………12分

20.（本小题满分12分）

解：（1）显然直线的斜率存在，设直线：，设，

        联立得，……………………………………………2分

        ，， ………………………………3分

        ，……………………………4分

            …………………………………………………………………5分

（2）

    ，

             切线：即

    同理可得切线：    ……………………………………………6分

    令，则，

    联立得，点 ……………………………………………8分

设的外接圆的方程为：

令，则

由韦达定理可得，， ………………………10分

，且

，………………………………………………………………………11分

则圆的方程为：即， …12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）定义域：

由题意知在时恒成立，………1分

即在时恒成立，………………………………………2分

所以时，  ……………………………………………3分

       由于，所以……………………5分

（2）设=

，…………………6分

①当时，，在是单调递增，

，，

所以存在唯一的使,即方程只有一个根. ……8分

②当时，则，令，有或.

所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数

的极大值为.……………9分

设，其中

则

所以在上是增函数，

所以，即，

所以在上无零点.………………………………………………………10分

又，，

所以，

又在单调递增，所以存在唯一的使.

即方程只有一个根.…………………………………………………11分

综上所述，当时，方程有且只有一个根. ……………12分

22.（本小题满分10分）

解：（1）直线的直角坐标方程为， ……………………………………2分

将,代入方程得

，即.  ……………………………5分

（2）依题意可设直线的极坐标方程为，

设， …………………………………………………………6分

则， ……………………8分

由,有,……………………………………………9分

当时，的最大值为. ……………………………10分

23.（本小题满分10分）

解：（1）当时，原不等式即，解得； …………………………2分

        当时，原不等式即，解得， ……………………4分

不等式的解集为. ……………………………………5分

（2）………………7分

（当且仅当时等号成立）

        . ……………………………9分

当且仅当，即时等号成立.…………………………………………10分