2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．设复数z满足，则|z|＝（    ）

A．2 B． C．3 D．2

【答案】B

【解析】化简得到，再计算复数的模得到答案.

【详解】

，则，

故.

故选：.

【点睛】

本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力.

2．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，B＝{x|2x≤1}，则A∩B＝（    ）

A．(－2，1) B．(－2，0) C．(－2，0] D．(－2，－1]

【答案】C

【解析】计算得到，，再计算得到答案.

【详解】

，，

故.

故选：.

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.

3．若{an}是等比数列，Sn为其前n项和，an>0，a2a4＝4，S3＝14，则其公比q等于（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】直接利用等比数列公式计算得到答案.

【详解】

，，且，解得.

故选：.

【点睛】

本题考查了等比数列基本量的计算，意在考查学生的计算能力.

4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（    ）

A．他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变

B．他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人

C．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg）

D．他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg

【答案】D

【解析】根据饼图逐个选项计算分析即可.

【详解】

对A,易得们健身后,体重在区间[90kg,100kg）内的人数占比均为,故A正确.

对B,体重在区间[100kg,110kg）内的人数减少了,即人.

故B正确.

对C,因为健身后[80kg,90kg）内的人数占,[90kg,100kg）内的人数占,故中位数位于[90kg,100kg）.故C正确.

对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为,减肥后为依然满足.故D错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型.

5．椭圆的左右顶点分别是A，B，左右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】计算，，，根据等差数列得到，得到答案.

【详解】

，，，成等差数列，故，.

故.

故选：.

【点睛】

本题考查了椭圆的离心率，根据等差数列得到是解题的关键.

6．若等边△ABC的边长为，点M满足，则＝（    ）

A． B．2 C．2 D．0

【答案】D

【解析】化简得到，计算得到答案.

【详解】

.

故选：.

【点睛】

本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与平面B1BCC1所成角的正切值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示：连接，正方体ABCD－A1B1C1D1，故平面，即为直线AC1与平面B1BCC1所成角，计算得到答案.

【详解】

如图所示：连接，正方体ABCD－A1B1C1D1，故平面，

即为直线AC1与平面B1BCC1所成角，

设长方体边长为，则.

故选：.

【点睛】

本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

8．某程序框图如图所示，若输出的S＝41，则判断框内应填入（    ）

A．k>5？ B．k>6？ C．k>7？ D．k>8？

【答案】A

【解析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】

根据程序框图：

；；；；；，

结束.

故选：.

【点睛】

本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和计算能力.

9．已知下列命题：

①“若x2＋x－2≠0，则x≠1”为真命题；

②命题p：x∈R，x2＋1>0，则p：x0∈R，x02＋1≤0；

③若(k∈Z)，则函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数；

④若>0，则与的夹角为锐角.

其中，正确命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据解不等式，全称命题的否定，函数的奇偶性，向量夹角依次判断每个选项得到答案.

【详解】

①若x2＋x－2≠0，则x≠1且，故①为真命题；

②命题p：x∈R，x2＋1>0，则p：x0∈R，x02＋1≤0，故②正确；

③若(k∈Z)，

则函数，均为奇函数，③正确；

④若>0，则与的夹角为锐角或零度，故④错误；

故选：.

【点睛】

本题考查了解不等式，全称命题的否定，函数的奇偶性，向量夹角，意在考查学生的综合应用能力.

10．已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据两点的坐标列方程组，解方程组求得的值.

【详解】

由于函数过两点，故，由于，所以方程组解得.

故选C.

【点睛】

本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

11．已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，若双曲线右支上存在一点M，使得，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】根据得到，，故，，解得答案.

【详解】

，故.

，

故，故，，.

解得，，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了双曲线中长度的计算，确定是解题的关键.

12．已知函数，若f(x)－mx≥0，则实数m的取值范围是（    ）

A．[0.2] B．[－1，2] C．[－ln3，2] D．[－ln2，2]

【答案】D

【解析】如图所示，画出函数的图像，讨论和两种情况，分别计算原点处的切线斜率得到答案.

【详解】

如图所示：画出函数的图像.

当时，，故；

当时，，故；

根据图像知：.

故选：.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题，转化为切线的斜率问题是解题的关键.

二、填空题

13．已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x3－，则f（1）＝________.

【答案】

【解析】根据函数为奇函数，得到，计算得到答案.

【详解】

函数为奇函数，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据函数的奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

14．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P(，a)，则cos2α＝________.

【答案】

【解析】根据题意得到，再利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】

角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P(，a)，故，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数定义，二倍角公式，意在考查学生的计算能力.

15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为__________(容器壁的厚度忽略不计).

【答案】

【解析】外接圆直径为长宽高分别为的长方体的体对角线，即，计算得到答案.

【详解】

根据题意：外接圆直径为长宽高分别为的长方体的体对角线，即.

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了多面体的外接球问题，将直径转化为长方体的体对角线是解题的关键.

16．数列{an}中，a1＝3，且(n≥2)，令，则数列{bn}的前2020项和S2020＝____________.

【答案】

【解析】化简得到，故，利用累加法得到，故

，再利用裂项求和计算到答案.

【详解】

，故，即.

，即，

.

故.

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了累加法求通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

三、解答题

17．在中，，点在边上，．

（1）若的面积为，求；

（2）若，，求．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.

(2)根据,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可.

【详解】

解：（1）

在中,由余弦定理可得

（2）

,,

,,

在中,由正弦定理可得,

．

【点睛】

本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.

18．某单位共有职工2000人，其中男职工1200人，女职工800人为调查2019年“双十一”购物节的消费情况，按照性别采用分层抽样的方法抽取了该单位100人在“双十一”当天网络购物的消费金额(单位：百元)，其频率分布直方图如下：

（1）已知抽取的样本中，有3名女职工的消费不低于1000元，现从消费不低于1000元的职工中抽取3名职工进行购物指导，求抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率；

（2）在“双十一”当天网络购物消费金额不低于600元者称为“购物狂”，低于600元者称为“理性购物者”.已知在抽取的样本中有18名女职工消费不低于600元，请完成上图中的列联表，并判断能否有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关.

附：参考数据与公式

【答案】（1）（2）列联表见解析；有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关

【解析】（1）消费不低于1000元的共有人，其中女职工3人设为，男职工2人，设为，列出所有情况，再统计满足条件的情况，得到概率.

（2）完善列联表，计算，对比临界值表得到答案.

【详解】

（1）消费不低于1000元的共有人，

其中女职工3人设为，男职工2人，设为.

从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：

（），（），（），（），（），（），（）（），（），（）共10种情况.

其中至少有两名女职工包括7种情况.

所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率.

（2）应抽取男职工：人，抽取女职工：人，

，

因为，所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关.

【点睛】

本题考查了概率的计算，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19．如图所示的几何体B－ACDE中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，DC⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，点M在线段BC上，且AM＝.

（1）证明：AM⊥平面BCD；

（2）若点F为线段BE的中点，且三棱锥F－BCD的体积为1，求CD的长度.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明，根据余弦定理得到，再根据勾股定理得到，得到证明.

（2））取的中点，的中点，连接，，证明平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离，设，根据体积得到答案.

【详解】

（1）平面，平面，.

在中，，，，.

由得，.

，，即.

，平面，平面，平面.

（2）取的中点，的中点，连接，，

，，点为线段中点，.

平面，平面，，，.

平面，平面，平面，

点到平面的距离等于点到平面的距离，

平面，平面.

设，则，，即长为.

【点睛】

本题考查了线面垂直，根据体积求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

20．已知抛物线C：x2＝2y，过点(0，2)作直线l交抛物线于A、B两点.

（1）证明：OA⊥OB；

（2）若直线l的斜率为1，过点A、B分别作抛物线的切线l1，l2，若直线l1，l2，相交于点P，直线l1，l2交x轴分别于点M，N，求△MNP的外接圆的方程.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）设直线：，设，，联立方程得到，，故，得到证明.

（2）求导得到，得到切线方程和，计算点，设的外接圆的方程为：，计算得到，，，得到答案.

【详解】

（1）显然直线的斜率存在，设直线：，设，

联立得，

，，，

，.

（2），，，

切线：即，同理可得切线：.

令，则，，联立得点，

设的外接圆的方程为：，令，则.

由韦达定理可得，，

，且，，

则圆的方程为：，即.

【点睛】

本题考查了抛物线中的垂直关系的证明，切线问题，外接圆方程，意在考查学生的综合应用能力.

21．已知函数.

（1）若函数f(x)在定义域内是增函数，求实数a的取值范围；

（2）当a∈[1，e)时，求方程的根的个数.

【答案】（1）（2）有且只有一个根

【解析】（1），即，求函数的最大值得到答案.

（2）求导，讨论，两种情况，根据单调性得到的极大值为，设，求导得到函数单调递增，再根据零点存在定理得到答案.

【详解】

（1）定义域：，在时恒成立，

即在时恒成立，所以时，，

由于，所以.

（2）设=

，

①当时，，在是单调递增，

，，

所以存在唯一的使，即方程只有一个根.

②当时，则，令，有或.

所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

的极大值为.

设，其中，则.

所以在上是增函数，所以，即，

所以在上无零点.

又，，所以，

又在单调递增，所以存在唯一的使.

即方程只有一个根.

综上所述，当时，方程有且只有一个根.

【点睛】

本题考查了根据函数的单调性求参数，函数的零点个数问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线的极坐标方程；

（2）设动直线与，分别交于点、，求的最大值．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)消去参数求的直角坐标方程,再根据,代入方程化简即可.

(2) 设直线的极坐标方程为,再根据极坐标的几何意义求解即可.

【详解】

解：（1）直线的直角坐标方程为,

将,代入方程得

,即,

（2）设直线的极坐标方程为,设,

则,

由,有,

当时,的最大值为．

【点睛】

本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记函数，且的最大值为，若，求证：．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.

(2)利用绝对值的三角不等式可得,再利用三元基本不等式求证即可.

【详解】

解：（1）由得,解得

不等式的解集为．

（2）

当且仅当时等号成立,

,

．

当且仅当,即时等号成立．

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.