湖南省永州市2020届高三上学期模拟考试 数学（理）

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷

数学(理科)

注意事项：

1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

2.考试结束后，只交答题卡。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z满足，则z的共轭复数为

A.1－i     B.1＋i     C.－1＋i     D.－1－i

2.已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|log2x>0}，则

A.A∩B＝{x|1<x<3}     B.A∩B＝ϕ     C.A∪B＝{x|x<3}     D.A∪B＝{x|x>1}

3.执行右图所示程序框图，若输入p＝，则输出结果为

A.2     B.3     C.4     D.5

4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是

A.他们健身后，体重在区间[90kg，100kg)内的人数不变

B.他们健身后，体重在区间[100kg，110kg)内的人数减少了4人

C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg)

D.他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg

5.已知数列是首项为8，公比为的等比数列，则a4等于

A.8     B.32     C.64     D.128

6.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；姓380人，编号为221，222，…，600。为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10。现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是

A.     B.     C.     D.

7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝

A.－2     B.0     C.2     D.2020

8.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图像如右图所示，且A(，－l)，B(π，1)，则φ的值为

A.－     B.     C.－     D.

9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便。每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位。某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层)：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一。设水管的直径与保温带的宽度都为4cm。在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)

A.     B.     C.     D.

10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为

A.8π     B.6π     C.4π     D.

11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为，则双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

12.数列{an}满足an＋1＋an＝11－n＋(－1)n，且0<a6<1。记数列{an}的前n项和为Sn，则当Sn取最大值时n为

A.11     B.12     C.11或13     D.12或13

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y＝lnx过点(0，－1)的切线方程为            。

14.已知AB为圆O的弦，若|AB|＝2，则＝            。

15.已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4.x上的两点A、B满足，则|AB|＝        。

16.已知函数。

(1)若t＝1，且f(x)值域为[－1，3)，则实数a的取值范围为            。

(2)若存在实数a，使f(x)值域为[－1，1]，则实数t的取值范围为            。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17题～第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必做题：60分。

17.(本题满分12分)在△ABC中，∠ABC＝，点D在边AB上，BD＝2。

(1)若△BCD的面积为2，求CD；

(2)若cos∠BCA＝，cos∠DCA＝，求CD。

18.(本题满分12分)在如图三棱锥A－BCD中，BD⊥CD，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD//平面AEF，AE⊥平面BCD。

(1)求证：平面AEF⊥平面ACD；

(2)若BD＝CD＝AD＝2，E为BC的中点，求直线AF与平面ABD所成角的正弦值。

19.(本题满分12分)已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点(，1)，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为。

(1)求椭圆的方程；

(2)O为坐标原点，设直线CP交定直线x＝m于点M，当m为何值时，为定值。

20.(本题满分12分)某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验.现有n(n∈N*且n≥2)份产品，有以下两种检验方式：

(1)逐份检验，则需要检验n次；

(2)混合检验，将这n份产品混合在一起作为一组来检验。若检测通过，则这n份产品全部为正品，因而这n份产品只要检验一次就够了；

若检测不通过，为了明确这n份产品究竟哪几份是次品，就要对这n份产品逐份检验，此时这n份产品的检验次数总共为n＋1次。假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为p(0<p<1)。

(1)如果n＝4，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；

(2)现对n份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n和p满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数?

(3)①当n＝2k(k∈N*且k≥2)时，将这n份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；

②当n＝mk(k，m∈N*，且k≥2，m≥2)时，将这n份产品均分为m组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数5的数学期望(不需证明)。

21.(本题满分12分)

已知函数f(x)＝e1－x(x2＋x－1)＋1＋x，g(x)＝(2－x)ex－1－(3－x)ln(3－x)。证明：

(1)存在唯一x0∈(0，1)，使f(x0)＝0；

(2)存在唯一x1∈(1，2)，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<2。

(二)选考题：10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本题满分10分)

在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(其中t为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。

(1)写出直线C1的极坐标方程；

(2)设动直线l：y＝kx(k>0)与C1，C2分别交于点M、N，求的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](本题满分10分)

已知函数f(x)＝|x－2|。

(1)求不等式f(x)≤2x＋5的解集；

(2)记函数g(x)＝f(x＋1)－f(－x＋5)，且g(x)的最大值为M，若a>0，求证：。

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13．  14．  15． 

16．(1)（2分）; (2) （3分）

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）解：（1）

               …………………………………………………………………3分

        在中，由余弦定理可得

            ………………………………………………………………6分

（2）

            ……8分 

     ，，

 ，，

   ………………………………………………………10分  

在中，由正弦定理可得，

．  ………………………………………………12分 

18．（本小题满分12分）

解：（1）证明：因为，，

所以，因为，所以．

又因为，，

所以，而，

所以，又，

所以．      ………………6分 

（2）解：设直线与平面所成交的余弦值为．

连接，在中，，，

，所以，且，，

又因为，，，

所以，．在中，，，所以．

   如图，以点为坐标原点，分别以 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点

坐标为，，，，

因为，为的中点，所以为的中点，即，

    设平面的法向量，

，，

由，即，

整理得， 令，得，，则．……10分

因为 ，所以，

故直线与平面所成交的正弦值为．                 ……………12分

19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆过点，∴，①    ………2分

又因为直线的斜率之积为，可求得，②

联立①②得．

∴所求的椭圆方程为．      ……………………………………………6分

（2）方法1：由（1）知，． 由题意可设，

令x=m,得．又设

由整理得：．…………………6分

∵，∴，，

所以，    ……………………………………………………8分

∴  ，…10分

要使与k无关，只须，此时恒等于4.

∴  ……………………………………………………………………………12分

方法2：:设，则，令x=m,得，

∴ 

由有，

所以，

要使与无关，只须，此时.

∴     …………………………………………………………………………12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）如果，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为                           

检测结果恰有两份次品的概率．         ………………………3分

（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为，由已知得，的所有可能取值为

,     

=   …………………5分

要减少检验次数，则，则   

 ∴，，即，      ………………………7分

（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为，，则由（2）知，

， ，

     ………………10分

②设这组采用混合检验的检验次数分别为，，， ，，，且检验总次数，

，

，

所以检验总次数的数学期望．    …………………12分

21．（本小题满分12分）

证明：(1)当x∈（0,1）时，f′(x)＝＞0，函数f(x)在（0,1）上为增函数．又f(0)＝-e+1<0，f(1)＝3>0，所以存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0．…4分

(2) 当x∈（1，2）时，,

令t=2-x, x=2-t，x∈（1，2），t∈（0，1），

, t∈（0，1）               ……………………6分

记函数，t∈（0，1）．

则h′(t)＝．                 ……………………8分

由(1)得，当t∈(0，x0)时，f(t)<0，h′(t)＞0，

当t∈(x0，1)时，f(t) >0，h′(t) <0．

故在(0，x0)上h(t)是增函数，又h(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，h(t)>0，所以h(t)在(0，x0]上无零点．

在(x0，1)上h(t)为减函数，由h(x0)>0，h(1)＝－ln 2<0，知存在唯一t1∈(x0，1)，使h(t1)＝0，                         ……………………………………………10分

故存在唯一的t1∈(0，1)，使h(t1)＝0．

因此存在唯一的x1＝2－t1∈(1，2)，使g(x1)＝g(2－t1)＝h(t1)＝0．

因为当t∈ (0，1)时，1＋t>0，故与g(2－t)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈（1，2），使g(x1)＝0．

因为x1＝2－t1，t1>x0，所以x0＋x1<2．  …………………………………………12分

22．（本小题满分10分）

解：（1）直线的直角坐标方程为，

将，代入方程得

，即，        …………………………5分

（2）设直线的极坐标方程为，设，

则，

由，有，

当时，的最大值为．       ………………………10分

23．（本小题满分10分）

解：（1）由得，解得

不等式的解集为．          ………………………5分

（2）

当且仅当时等号成立，

，                                      ………………………7分

        ．

当且仅当，即时等号成立．            ………………………10分