湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题
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数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）（“同比”指与去年同月相比）
A. 2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元
B. 2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于，在3月最高
C. 从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率月增长
D. 从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 若“”为真命题，则“”为真命题
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
D. “”是“”的必要不充分条件
6. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（ ）
A. B. 3 C. D.
8. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边长为的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形.若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于，），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 已知函数，在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间上存在，，满足；②在区间有且仅有1个最大值点；③在区间上单调递增；④的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④
12. 设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 二项式的展开式中的系数是______.
14. 在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有______种.（用数字填写答案）
15. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，则______.
16. 在四面体中，，，，，平面，平面，，分别为线段，的中点，当四面体以为轴旋转时，直线与直线夹角的余弦值的取值范围是______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必做题：60分.
17. 已知是公差不为零的等差数列的前项和，，是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值.
18. 在如图的空间几何体中，四边形为直角梯形，，，，，且平面平面，为棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
19. 已知椭圆：与抛物线：有共同的焦点，且两曲线的公共点到的距离是它到直线（点在此直线右侧）的距离的一半.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，直线过点且与椭圆交于，两点，以，为邻边作平行四边形.是否存在直线，使点落在椭圆或抛物线上？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
20. 为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”时，发现满足，，.
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖.
（i）求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
（ii）已知学生和都获奖，记，两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
21. 已知函数，.
（1）当时，总有，求的最小值；
（2）对于中任意恒有，求的取值范围.
（二）选考题：10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的方程为.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程，并求出直线与曲线的交点，的极坐标；
（2）设是椭圆上的动点，求面积的最大值.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）解关于的不等式：；
（2）若的最小值为，且，求证：.
永州市2020年高考第三次模拟考试试卷
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5：CDBCC 6-10：ACBDB 11-12：BD
1. 解析：，，选C.
2. 解析：，在第四象限，选D.
3. 解析：，即，而，即，
∴，选B.
4. 解析：由图表易知，选C.
5. 解析：“”为真，则命题，有可能一真一假，则“”为假，故选项A说法不正确；命题“，”的否定应该是“，”，故选项B说法不正确；因命题“若，则”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C说法正确；因，但或，所以“”是“”的充分不必要条件，选项D说法不正确；选C.
6. 解析：∵，∴，∴，∴，∴且，∴，选A.
7. 解析：，，，
，
当且仅当与反向时取等号.选C.
8. 解析：先计算半片花瓣面积：，
∴，故所求概率为，选B.
9. 解析：依题意作出的图象，的图象可以看成是的图象向左（时）或向右（时）平移个单位而得.当时，的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足成立，当时，的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足成立（对任意的），故，选D.
10. 解析：不妨设在第二象项，，，由知，由，得（1），由，得（2）
（1），（2）两式相乘得，即，离心率为3.选B.
11. 解析：∵，∴，令，则，
由题意，在上只能有两解和，
∴，（*）因为在上必有，故在上存在，满足；①成立；
对应的（显然在上）一定是最大值点，因对应的值有可能在上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时是增函数，从而在上单调递增.综上，①③④成立，选B.
12. 解析：求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，
，在递减，在递增，显然在取得最小值，作的图像，并作的图象，注意到，，（原定义域，这里为方便讨论，考虑），当时直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于1）；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合.选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13. -80 14. 240 15. 16.
13. 解析：展开式通项，依题意，，得，的系数是.
14. 解析：依题意，先选出一个重灾区（有种选法），分配有两个医疗队，有种分配法，另3个重灾区各分配一个医疗队，有种分配法，所以不同的分配方案数共有.
15. 解析：设准线与轴交于.易知，由抛物线定义知，由于，所以为等边三角形，三角形边长为，又是的中位线，就是该等边三角形的高，.
16. 解析：易证，又，，∴，得.当四面体绕旋转时，由即绕旋转，故与直线所成角的范围为，直线与直线夹角的余弦值的取值范围是.
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 命题意图：第1问考查等差、等比数列基本量的运算求数列通项公式；
第2问考查利用裂项相消法求数列前和.
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴.
所以数列是以1为首项和公差的等差数列，故综上，.
（2）（裂项相消）：由上题可知，
所以
，
所以，
故的最小值为505.
18. 命题意图：第1问考查线线平行与垂直的证明；
第2问考查利用线线、线面垂直的判定，求二面角.
解：（1）证明：取中点为，连接和，因为，且，又因为，且，故，且，
即四边形为平行四边形，故.
∵，∴，又，则.
（2）∵平面平面，平面平面，，
∴平面，又∵平面，∴，又，
∵，平面，∴平面，
∴，∵，∴，，
取中点连接和，四边形为直角梯形，则，
∵平面，
∴平面，故，，∵，，
所以可以以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
∵，∴，
则，，，，
，，，
则为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，则
，即，
令，则，，则，
设二面角为，则，
故二面角的正弦值为.
19. 命题意图：第1问考查求椭圆的标准方程；
第2问考查直线与圆锥曲线位置关系.
解：（1）如图，由题意知，因而，即，又两曲线在第二象限内的交点到的距离是它到直线的距离的一半，即，得，则，代入到椭圆方程，得.
由，解得，，所以所求椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率存在，且不为0时，设直线的方程为，
由，得，
设，，，则，，
由于为平行四边形，则，
故，
若点在椭圆上，则，代入得，解得无解，
若点在抛物线上，则：，代入得解得无解
当直线斜率不存在时，易知存在点在椭圆上，
故不存在直线，使点落在抛物线上，存在直线，使点落在椭圆.
20. 命题意图：第1问考查频率分布直方图；
第2问考查概率、分布列、数学期望.
解：（1）在内，按组距为5可分成6个小区间分别是，，，，，，
因，由，，得，
每个小区间对应的频率值分别是（1）
，解得，
故的取值是14，15，16，17，18，19，.
（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生的分数属于区间，，，，，的概率分别是，，，，，，我们用符号（或）表示学生（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中，记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”，
则
.
（ii）学生最终获得一等奖的概率是，
学生最终获得一等奖的概率是，
，
，
，
的分布列为
0 | 1 | 2 | |
.
21. 命题意图：第1问考查不等式恒成立问题；
第2问考查不等式放缩求参数取值范围.
解：（1）令 ，，
，
∴在上单调递增，且，
若，在上单调递增，∴，
即满足条件，
若，，存在单调递减区间，又∵，
所以存在使得与已知条件矛盾，所以，的最小值为1.
（2）由（1）知，如果，则必有成立.
令，则，
，则，，.
若，必有恒成立，故当时，恒成立，
下面证明时，不恒成立.
令，
，当时，，
在区间上单调递增，
故，即，故.
，
令，，
在上单调递增，，则一定存在区间（其中），当时，，则，故不恒成立.
综上所述：实数取值范围是.
22. 命题意图：第1问考查曲线的普通方程化极坐标方程和解极坐标方程组；
第2问考查三角函数的最值问题.
解：（1）曲线的极方程：，
联立得，，.
（2）易知，直线：.
设点，则点到直线的距离，
∴（其中）.
∴面积的最大值为.
23. 命题意图：第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式；
第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等.
解：（1）当时，等价于，该不等式恒成立，
当时，等价于，该不等式解集为，
当时，等价于，解得，
综上，或，
所以不等式的解集为.
（2），
易得的最小值为1，即，
因为，
所以，，，
所以
，
当且仅当时等号成立.
