湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试 数学（文）
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数学(文科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，3，4}，则集合(A∪B)＝
A.{1，2，6} B.{1，3，6} C.{1，6} D.{6}
2.己知复数z满足z·(1＋2i)＝5(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，…。下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是
A.2 B.3 C.3.5 D.4
4.已知函数f(x)＝sin(x＋)，要得到函数g(x)＝cosx的图象，只需将y＝f(x)的图象
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
5.己知a＝()0.2，b＝，c＝，则
A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b
6.已知向量，夹角为30°，＝(1，)，||＝2，则|2－|＝
A.2 B.4 C.2 D.2
7.第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为
A. B. C. D.
8.已知双曲线C：的一条渐近线方程为y＝2x，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝3，则|PF2|＝
A.9 B.5 C.2或9 D.1或5
9.已知函数f(x)＝cos2x＋sin2(x＋)，则f(x)的最小值为
A. B. C. D.
10.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2(平方寸)，则图中x的值为
A.3 B.3.4 C.3.8 D.4
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝－eax(其中e是自然对数的底数)，若f(2020－ln2)＝8，则实数a的值为
A.－3 B.3 C.－ D.
12.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若F1、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线f(x)＝4x－ex在点(0，f(0))处的切线方程为 。
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosC＝bcosC＋ccosB，则C＝ 。
15.已知数列{an}为正项等比数列，a3a6a9＝27，则a2a10＋a6a2＋a6a10的最小值为 。
16.边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥。当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：60分。
17.(本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a5是a2与a11的等比中项。
(1)求Sn；
(2)设数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝bn＋3×，求数列{bn}的通项公式。
18.(本题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A'B'C'中，AC⊥AB，A'A＝AB＝AC＝2，D，E分别为AB，BC的中点。
(1)证明：平面B'DE⊥平面A'ABB'；
(2)求点C'到平面B'DE的距离。
19.(本题满分12分)自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口。某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
(1)求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.1)；
(2)某同学认为y＝px2＋qx＋r更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为y＝－x2＋10x＋68。经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好?并说明理由。
附：。
20.(本题满分12分)已知动圆E与圆M：(x－1)2＋y2＝外切，并与直线x＝－相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程；
(2)过点Q(－2，0)的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得∠APB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围。
21.(本题满分12分)设函数f(x)＝ex＋2ax－e，g(x)＝－lnx＋ax＋a。
(1)求函数f(x)的极值；
(2)对任意x≥1，都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围。
(二)选考题：10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。
22.(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，曲线C的方程为x2－2x＋y2＝0。以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)。
(1)写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；
(2)设P是椭圆＋y2＝1上的动点，求△PMN面积的最大值。
23.(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知f(x)＝x2＋2|x－1|。
(1)解关于x的不等式：f(x)>；
(2)若f(x)的最小值为M，且a＋b＋c＝M(a，b，c∈R＋)，
求证：。
永州市2020年高考第三次模拟考试试卷
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | D | C | A | B | A | B | B | C | D | B | D |
1.解析：，故选D.
2.解析：，故选D.
3.解析：由图表可知，种子发芽天数的中位数为，故选C.
4.解析：由于，故选A.
5.解析：由于，故选B.
6.解析：由于，故选A.
7.解析：由于，所以，又，故选B.
8.解析：由于所以，又且，故选B.
9.解析：由于
，故选C.
10.解析：由图可知，该几何体的表面积为，解得，
故选D.
11.解析：由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选B.
12.解析：由已知可知，点的坐标为，，易知点坐标，
将其代入椭圆方程得，所以离心率为，故选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上.
13． 14．（写也得分） 15．27 16．
13.解析：由于，所以，由点斜式可得切线方程
为.
14.解析：由正弦定理可知，
.
15.解析：由等比数列的性质可知，
.
16.解析：设底面边长为，则斜高为，即此四棱锥的高为，
所以此四棱锥体积为，
令，
令，易知函数在时取得最大值.
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分12分）
命题意图：第1问考查等差、等比数列基本量的运算及等差数列求和；
第2问考查累加法求通项公式.
解：（1）由题意可得即 …………2分
又因为，所以，所以. …………………………………4分
………………………………………………6分
（2）由条件及（1）可得． ……………………………………………7分
由已知得， …………………8分
所以
． …………………11分
又满足上式，所以 ………………………………12分
18.（本题满分12分）
命题意图：第1问考面面垂直的判定；
第2问考查转化思想，利用等体积法求高和作高求高的方法.
（1）因为棱柱是直三棱柱，所以 ………………………1分
又， …………………………………………………2分
所以面 …………………………………………………………3分
又分别为的中点 所以 ………………………………………………………………4分
即面 ……………………………………………………………5分
又,所以平面平面 ……………………6分
（2）由（1）可知
所以
即点到平面的距离等于点到平面的距离 ……………7分
方法一：连接，过点作交于点
因为面，所以
即 ………………………………………………………………8分
即的长就是点到平面的距离 ………………………………9分
因为，由等面积法可知
求得 ………………………………11分
所以到平面的距离等于 ……………………………………12分
方法二：设点到面的距离为
由（1）可知，面 …………………………………………8分
且在中，
易知 ………………………………………9分 由等体积公式可知
………………………………………………10分
由 得 ………………………………………11分
所以到平面的距离等于 …………………………………12分 19.（本题满分12分）
命题意图：第1问考查线性回归方程及学生的运算能力；
第2问考查回归方程的拟合及其应用.
解：（1）， ……………………………………………………………3分
由最小二乘法公式求得 ……………………………………5分
………………………6分
即所求回归方程为. …………………………………………7分
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为
（万个） …………………………………………9分
用题中的二次函数模型求得的结果为
（万个） ……………………………………10分
与第11天的实际数据进行比较发现
………………………………………………11分
所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好. …………………12分
20.（本题满分12分）
命题意图：第1问考轨迹方程的求法：定义法与坐标法；
第2问考查直线与圆锥曲线位置关系及其参数范围等综合应用.
解：（1）因为动圆与圆外切，并与直线相切，
所以点到点的距离比点到直线的距离大. ……………2分
因为圆的半径为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，……………………4分
所以圆心的轨迹为抛物线，且焦点坐标为.
所以曲线的方程.（用其他方法酌情给分） ……………………5分
（2）设，，
由得，
由得且.……………………………………6分
………………………………………………………7分
，
由，得，
即， ……………………………………9分
所以，
由，得且，………………………11分
又且，
所以的取值范围为. …………………………………12分
21.（本题满分12分）
命题意图：第1问考查分类讨论思想与求函数的极值；
第2问考查恒成立问题分类讨论思想、二阶导数、放缩法及其求参数范围等.
解：（1）依题， …………………………………………………………1分
当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值；
………………………………………………………………………2分
当时，令，得，
令，得
所以函数在上单调递增，
在上单调递减. …………………………………………………3分
此时函数有极小值，
且极小值为. ……………………………4分
综上：当时，函数无极值；
当时，函数有极小值，
极小值为. ………………………………5分
（2）令
易得且，……………………………………6分
令
所以，
因为，从而，
所以，在上单调递增. ………………………………………………7分
又
若，则
所以在上单调递增，从而，
所以时满足题意. ……………………………………………………8分
若，
所以，，
在中，令，由（1）的单调性可知，
有最小值，从而. ………………9分
所以 ……………………10分
所以，由零点存在性定理：
，使且
在上单调递减，在上单调递增. ……………………11分
所以当时，.
故当，不成立.
综上所述：的取值范围为. ……………………………………12分
注意：用洛必达法则解不给分.
22．（本题满分10分）
命题意图：第1问考查曲线的普通方程化极坐标方程和解极坐标方程组；
第2问考查函数的最值问题.
解：（1）曲线的极方程： ………………………………………………2分
联立，得， …………………………………5分
（2）易知，直线. ………………………………………………6分
设点，则点到直线的距离
（其中 ）. ………9分
面积的最大值为. ……………………………………………10分
23.（本题满分10分）
命题意图：第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式；
第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等.
解：（1）当时，等价于，该不等式恒成立，……1分
当时，等价于，该不等式解集为，……2分
当时，等价于，解得， ………3分
综上，或，
所以不等式的解集为． …………………5分
（2），
易得的最小值为1，即 ……………………………7分
因为，，，
所以，，，
所以
， ……………………9分
当且仅当时等号成立. …………………………………………10分
