黑龙江省双鸭山市某中学2020届高三第五次模拟考试数学（文）试卷
展开数学试卷（文史类）
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数是纯虚数，则实数
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则实数
A． B． C． D．
3．已知集合，集合，则集合的子集个数
为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设，，，则的大小关系是
A． B． C． D．
5. 设公比为3的等比数列的前项和为，若，则
A． B． C． D．
6. 某几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图
都是边长分别为1和2的矩形，俯视图为半径为1的
四分之一个圆，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
7. 若圆与圆外切，则实数
A． B． C． D．
8. 设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就
是现在我们熟悉的“进位制”，右图所示的是一位母亲记录的孩子自
出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，
根据图示可知，孩子已经出生的天数是
A． B．
C． D．
10．已知函数，，，，…，
依此类推，
A． B． C． D．
11．正方体的棱长为2，是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为
A． B． C． D．
12．已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线的离心率为2，则渐近线方程为 ．
14．设为等差数列的前项和，若，则= ．
15．若在不等式所表示的平面区域内随机投一点，则该点落在不等式组所表示的平面区域内的概率为 ．
16．函数为奇函数，当时，，则不等式的解集为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)
已知的内角的对边分别为，满足．
（1）求；
（2）若，求的面积．
18．(本小题满分12分)
如图①，在平面五边形中，是梯形，//，==，，，是等边三角形．现将沿折起，连接，得到如图②的几何体．
（1）若点是的中点，求证：//平面；
（2）若平面平面，求四棱锥的体积．
19．(本小题满分12分)
为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在年龄为岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：
年龄 | [20,28) | [28,36) | [36,44) | [44,52) | [52,60) |
支持的人数 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？
| 44岁以下 | 44岁及44岁以上 | 总计 |
支持 |
|
|
|
不支持 |
|
|
|
总计 |
|
|
|
（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人，求抽到的2人中恰有1人是44岁以下的概率．
参考公式：．
0.100 | 0.050 | 0．010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
20．(本小题满分12分)
已知函数．
（1）当时，证明：时，；
（2）若对任意，均有成立，求的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（1）求抛物线的方程；
（2）设为抛物线上的不同三点，，且，
求证：直线过定点．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程，直线在轴正半轴及轴正半轴上的截距相等时的直角坐标方程；
（2）若，设直线与曲线交于不同的两点，点，求 的值．
23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)
已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的最小值为，求证：．
数学试卷（文史类）答案及评分标准
一、选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | C | D | C | C | B | D | A | B | A | B | D |
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
- （1）由题知，……………………………………2分
则，则
,在中,,所以,………………………4分
则………………6分
（2）由余弦定理得,
从而得，……………………………………9分
又，所以，所以的面积为.…………………………12分
18.（1）取中点,连接,,则是的中位线,
………………6分
（2）取中点,连接,是等边三角形,得,
因为平面平面，平面平面
所以平面平面 ………………8分
直角梯形的面积为 …………10分
四棱锥的体积 ………………12分
19．（1）由统计数据填列联表如下:
| 44岁以下 | 44岁及44岁以上 | 总计 |
支持 | 35 | 45 | 80 |
不支持 | 15 | 5 | 20 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
计算观测值，..................................4分
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分
（2）由题意可知不支持“房产限购”的人44岁以下有15人，44岁及以上有5人，
按分层抽样的方法抽取8人，其中44岁以下抽取6人，用表示
44岁及以上抽取2人分别用表示， ……………………..… 6分
设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A ……………………..…7分
从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有：
，，，，，，，
，，，，，，
，，，，，
，，，，，，，
，， 共28种 ………………………………..…9分
抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有：
，，，，，，，，，，，，共12种 ……………………..…11分
所以，抽取“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”的概率为 … 12分
20.（1）当时，，
由于在上单调递减，存在唯一零点
知：
+ | 0 | - | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
知时，，即恒成立
所以为上的减函数，
时，， 证毕 …………………………………………6分
（2）等价于，设函数，
，知：
+ | 0 | - | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
，，
实数的取值范围是 ………………………………………………12分
21.（1）依题意，，所以………………………………4分
（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，
设，由得………6分
化简得，…………………………8分
解得或（舍）…………………………10分
所以直线过定点………………………………………………12分
22.（1），所以，
由，得曲线的直角坐标方程为…………….…….3分
当直线在轴正半轴及轴正半轴截距相等时,,
由得，所以，
即此时直线的直角坐标方程为…………………………………..………5分
（2）当时，直线的参数方程为(为参数）
将直线的参数方程带入，得，
，，………..……………...…….8分
故…………………………………...…..10分
23.（1）依题意，解集为 ………………………………5分
（2），所以…7分
……………10分
