黑龙江省哈三中2020届高三第五次模拟考试理科数学试题
展开数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知复数为虚数单位，若是纯虚数，则实数
A． B． C． D．
2． 已知集合，集合，则集合的子集个数为
A． B． C． D．
3． 已知向量，，若//，则实数
A． B． C． D．
4． 设，，，则的大小关系是
A． B． C． D．
5． 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为
A． B．
C． D．
6． 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计
数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，右图所示的是一位母
亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同
绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天
数是
A． B． C． D．
7． 设公比为3的等比数列前项和为，且，则
A． B． C． D．
8． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是
上底为1，下底为2，高为1的直角梯形，俯视图为四
分之一个圆，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
9． 已知函数，，，，…，依此类推，
A． B． C． D．
10．正方体的棱长为2，是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为
A． B． C． D．
11．给出下列命题，其中真命题为
① 用数学归纳法证明不等式时，当时，不等式左边应在的基础上加上；
② 若命题：，则；
③ 若，则；
④ 随机变量，若，则．
A．①②④ B．①④ C．②④ D．②③
12．已知，则的最小值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 ．
14．已知数列的前项和为，，则 ．
15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有 种辅导方案．
16．设是奇函数的导数，当时，，则不等式的解集为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)
的内角的对边分别为．满足．
（1）求；
（2）若，求的面积．
18．(本小题满分12分)
为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在年龄为岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：
年龄 | [20,28) | [28,36) | [36,44) | [44,52) | [52,60) |
支持的人数 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？
| 44岁以下 | 44岁及44岁以上 | 总计 |
支持 |
|
|
|
不支持 |
|
|
|
总计 |
|
|
|
（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人．记抽到44岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考公式：．
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
19．(本小题满分12分)
如图①，在平面五边形中，是梯形，//，==，，，是等边三角形．现将沿折起，连接，得如图②的几何体．
（1）若点是的中点，求证：//平面；
（2）若，在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（1） 求抛物线的方程；
（2） 设为抛物线上的不同三点，点，且．求证：
直线过定点．
21．(本小题满分12分)
已知函数．
（1） 当时，求证：当时，；
（2） 若函数有两个零点，求的值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1） 求曲线的直角坐标方程及直线在轴正半轴及轴正半轴截距相等时的直角坐标方程；
（2） 若，设直线与曲线交于不同的两点，点，求 的值．
23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)
已知函数．
（1） 当时，求不等式的解集；
（2） 若的最小值为，求证：．
数学试卷（理工类）答案及评分标准
一、选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | D | C | C | A | B | C | A | A | D | C | B |
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
- （1）由题知，………………………………….……2分
则，则
,在中,,所以,…………………………4分
则……………………………………………………………………………..………6分
（2）由余弦定理得,
从而得，…………………………….…………………9分
又，所以，所以的面积为.……………….……………12分
18.（1）由统计数据填列联表如下:
| 44岁以下 | 44岁及44岁以上 | 总计 |
支持 | 35 | 45 | 80 |
不支持 | 15 | 5 | 20 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
计算观测值，..................................4分
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分
（2）由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人，..........6分
根据题意，X的可能取值是0，1，2,..................................................................................7分
计算，，，.....................................................................................................10分
可得随机变量X的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 |
P |
故数学期望为．......................................................12分
19.（1）取中点,连接,,则是的中位线,
.................................................................................................................................................5分
（2）取中点,连接,易得,.
在中，由已知.
以为原点，分别以射线为轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，
则...................................................7分
则
假设在棱上存在点满足题意，设,
则，.
设平面的一个法向量为，
则即
令，得平面的一个法向量.......................................9分
又平面的一个法向量，.........................................................................10分
由已知，，
整理得，解得，
在棱上存在点，使得二面角的余弦值为，且...12分
20.（1）依题意，，所以………………………..……………4分
（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，
设，由得………6分
化简得，………………………………………….…………8分
解得或（舍）…………………………………….……………10分
所以直线过定点………………………………………………..……………12分
21.（1）当时，………..………….…….1分
则，由于在上单调递减，存在唯一零点
知：
2 | |||
+ | 0 | - | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
..................................................................................................................................................3分
知时，，即恒成立
知为上的减函数，即，证毕；....................................5分
（2）等价于有两个零点，设函数..............................................6分
，解得，即
知：
1 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
..................................................................................................................................................9分
当时，；极小值为；极大值为；在上单调递减，由于，当时，，故在上的值域为
综上，有两个零点，有，即当时，有两个零点…….12分
22.（1）由得，所以，
由，得曲线的直角坐标方程为…………….…….3分
当直线在轴正半轴及轴正半轴截距相等时,,
由得，所以，
即此时直线的直角坐标方程为…………………………………..………5分
（2）当时，直线的参数方程为(为参数）
将直线的参数方程带入，得，
，，………..……………...…….8分
故…………………………………...…..10分
23.（1）依题意，解集为……………………………...………5分
（2），所以…7分
……….……10分
