黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟数学（理）试题
展开2020年高三学年模拟考试
数学试卷（理工类）
本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 设集合，集合，则
A． B． C． D．
2． 在复平面内，复数对应点位于
A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
3． 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是
A． B． C． D．
4． 数列是等差数列，且，，那么
A． B． C． D．
5． 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是
A．残差平方和变小
B．相关系数变小
C．相关指数变小
D．解释变量与预报变量的相关性变弱
6． 函数在处的切线方程是
A． B． C． D．
7．“克拉茨猜想” 又称“ 猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数经过5次运算后得到1，则的值为
A．32或5 B．16或2 C．16 D． 32或5或4
8． 小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为
A ． B． C． D．
9． 某程序框图如图所示，若输入的、分别为5、3，则输出的
A． B． C． D．
10．已知分别是双曲线的左右焦点，为
轴上一点， 为左支上一点，若，且周长
最小值为实轴长的3倍，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
11．已知数列，，则数列的前100项和为
A． B． C． D．
12．已知中，长为2的线段为边上的高，满足：，且，则
A． B． C． D．
二、 填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． ．
14．直线过抛物线的焦点，交抛物线于点（点在轴上方），过点作直线的垂线，垂足为，若垂足恰好在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为 ．
15．新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药 （填“会”或者“不会”）对人体产生副作用．
16． 在三棱锥中，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为 ， ．
三、 解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一) 必考题：共60分．
17． 函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2） 若 ，且，求．
18． 如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，
， 底面，点分别为，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与 平面所成的角的
余弦值为？若存在，确定点的位置； 若不存在，请说明理由．
19． 函数
（1） 求证：函数在上单调递增；
（2） 若为两个不等的正数，试比较与的大小，并证明．
20． 已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的
圆过点．
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围．
21．（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动. 月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加. 社团活动积极分子甲同学参加了活动.
(ⅰ) 第一个月有18个中签名额. 甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签. 求这三名同学同时中签的概率.
(ⅱ) 理学社设置了第()个月中签的名额为, 并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签， 则活动立刻结束. 求甲同学参加活动时间的期望.
（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动. 报名和抽签时间与(1)中某中学理学社的报名和抽签时间相同, 最初有30万人参加, 甲同学在其中. 每个月抽中的人退出活动，同时补充新人, 补充的人数与中签的人数相同. 出版集团设置了第()个月中签的概率为，活动进行了个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于个月．
（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22． 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于、两点．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若，求的值．
23． 选修4-5：不等式选讲
已知函数和函数.
（1） 当时，求关于的不等式的解集；
（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围．
2020年高三学年模拟考试
数学试卷（理工类）参考答案
一、选择题：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | B | D | B | A | A | A | B | A | C | B | D |
二、填空题：
13. 14. 15. 不会 16. ，
三、解答题：
17. （1）由图像可知 ……….3分
代入点，得 ………6分
（2） 由题意知 ………8分
………12分
18. （1）因为底面，底面所以， ……….2分
又因为，
所以平面, …….. 4分
因为平面，所以平面 平面 ………… 5分
（2）因为两两垂直，所以 以为坐标原点，分别以的正方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 …….. 6分
,
设平面的法向量为,由得,不妨设,则,所以 ……..….8分
设,则,由题知
………….10分
解得 ……...12分
19. （1）
………………………………………………………3分
在上单调递增 ……………………………………………………….5分
（2）不妨设
=
令，设， ……………………………….7分
由（1）知在上单调递增，，…………….10分
又，， …………………12分
- （1）依题意： …………….2分
所以椭圆方程为 ………………..4分
（2）由题意直线斜率不为0，设直线：
得由得
所以，设，
由韦达定理 ……………6分
因为
得 …………8分
直线与圆没有公共点，则，所以 ………….10分
………….12分
21（1）
（i）设甲乙丙中签为事件，
则 ………….3分
（ii）甲参加活动的时间的可能取值为
则;
则甲参加活动的时间的期望为 …….. 8分
（2）设甲中签为事件，则
设,甲在第个月中中签的概率为，则甲在事件A发生的条件下，第个月中中签的概率为，
则甲在事件A发生的条件下，甲参加活动时间的均值为
………10分
，
则
所以
所以 …………12分
22. （1）直线的直角方程为， ……….2分
曲线的直角坐标方程 ……….4分
（2）直线的参数方程可化为 ……….6分
代入曲线可得 ……….8分
所以 ……….10分
23. （1）时，
当时，，无解； ……………1分
当时，，； ……………2分
当时，恒成立，； ……………3分
综上，的解集为. ……………5分
（2）， ……………6分
， ……………7分
由题意知，的值域是的值域的子集，即， ……………9分 的取值范围为. ……………10 分
