黑龙江省大庆市2020届高三第三次高考模拟考试数学（理）试题

大庆市高三年级第三次教学质量检测试题

理科数学

2020.06

注意事项:

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则

A． B． C． D．

2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为

A．     B．     C．      D．

4. 已知向量，，设与的

夹角为，则

A． B． 

C． D．

5. 设，，，则的大小关系为

A．  B． C． D．

6. 在某次数学测验后，将参加考试的名

学生的数学成绩制成频率分布直方图（如

图），则在该次测验中成绩不低于分的

学生数是

1.        B.     

C.       D.      

7. 将这五个数字全部取出，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概

率是

A．  B． C． D．

8. 若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的

系数是

A．     B.     C．     D.

9. 如图，在正四棱柱中，底面边长为，

直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为

A．        B．        C．        D．

10. 已知函数是偶函数.若将曲线向左平

移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是

A．     B．

C．       D．

11. 已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线虚轴的一个端点，若的最小值为，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

12. 已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为

A．      B．      C．      D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

   本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为______.

14. 已知实数满足线性约束条件，则的最小值为______.

15. 在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.

16. 设函数的定义域为，满足，且当时，

当时，函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的

极大值为，则数列前项的和为____________.

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知数列的前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，记数列的前项和为，

求证: .

18. （本小题满分12分）

在四棱锥中，底面为正方形，

.

（1）证明：平面平面；

（2）若与底面所成的角为，

，求二面角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

某工厂加工某种零件需要经过，，三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为，，. 三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为.

（1）求；

（2）若该零件的一级品每个可获利元，二级品每个可获利元，每个废品将使工厂损失元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元，求的分布列及数学期望.

20. （本小题满分12分）

设函数.

　（1）当时，求函数在点处的切线方程；

　（2）当时，恒成立，求整数的最大值.

（参考数值：，，, ）

21. （本小题满分12分）

已知椭圆与轴负半轴交于，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与直线相交于点，求的取值范围及取得最小值时直线的方程.

请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为

（1）求的普通方程和的直角坐标方程;

（2）直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,若

,求直线的倾斜角.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若“，”为假命题，求的取值范围.

2020大庆三模数学理科参考答案

一、选择题  ABACC BDDCA CD

13.2   14.1   15.   16,

17.解（Ⅰ）因为，①

当时，，②                  ...............................2分

由①-②得，即， ............................................4分

当时，，，

所以数列为等比数列，其首项为，公比为，

所以；        ..................................................................6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，

所以，                   ........................................................8分

所以，

........10分

因为   所以            ............................12分

18.解（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴

∵，,∴,...........................................................2分

又∵,∴

又,∴...........................................................4分

（2）方法1：∵，过点P做,垂足为E

∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,...............................................................6分

又，设,则

过F做FE垂直于AB,垂足为F,则AF=

 如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系

..........8分

设面法向量为，

,∴，

，∴......................................................................9分

同理的法向量，    ....................................................................10分

                   ....................................................................11分

∴二面角的正弦值        ....................................................................12分

（2）方法2∵，过点P做,垂足为E

∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,.........................9分

设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=,由，得AP=，

PE=，AE=，过E做EF垂直AB，垂足为F,则AF=，

如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系

所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0),

P(,,)，....................................................................8分

，(0,a.0)，=(a,0,0)

设面法向量为,,,

令z=1.则，即，....................................................................9分

设的法向量，则,，

令z=1.则，，       ....................................................................10分

(直接书写：同理可得，本次考试不扣此步骤分）

所以，              ..................................................................11分

则二面角的正弦值为     .....................................................................12分

19.解（1）设零件经，，三道工序加工合格的事件分别记为，，，

则，，，，，.

设事件为“生产一个零件为二级品”，由已知，，是相互独立事件，则，.............................................2分

所以.                                       .............................................4分

（2）的可能取值为200，100，，...........................................5分

，

，

，....................................................8分

则的分布列为

.                                                             .........................10分

所以.                   .. .....................12分

20.解：（1）当时，， ------------------------2分

所以，因为 

所以切线方程为， 整理得：     -----------------------4分

（2），因为，所以（）恒成立

设，则      ---------6分

设则（）.

所以在上单调递增，又,

,所以存在使得，

当时，,即；当时，即.所以在上单调递减，上单调递增.所以 . ----------8分

因为

所以,------------10分

设，当时，，所以在上单调递增.则，即.所以

因为，所以，所以的最大值为2.         ----------------------------------12分

21.方法一 解（1）由题有，. ∴，.....................................................2分

∴.

∴椭圆方程为        ...........................................................................4分

（2）设：，将其与曲线的方程联立，得.

即...........................................................................................6分

设，，则，

............................................8分

将直线：与联立，得

∴..........................................................................................9分

∴......................................................10分

设.显然.  构造.

在上恒成立,所以在上单调递增.

所以，当且仅当，即时取“=”

所以的取值范围是                               ............................11分

当取得最小值1时，, 此时直线的方程为 ......................................12分（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）

21.方法二 解（1）由题有，. ∴，...................................................2分

∴.

∴椭圆方程为        ...........................................................................4分

（2）方法1：设：，将其与曲线的方程联立，得.

即...........................................................................................6分

设，，则，

............................................8分

将直线：与联立，得

∴..........................................................................................9分

∴......................................................10分

设.显然.  构造.

在上恒成立,所以在上单调递增.

所以，当且仅当，即时取“=”

所以的取值范围是.

当取得最小值1时，, 此时直线的方程为 ......................................12分（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）

（2）方法2：当l的斜率不存在时，易得

.......................6分

当l斜率存在时，可设设，

由  得，   ...........................8分

            ...........................9分

依题意可知，则有直线TF：，又x=4，则

所以，                                       ...........................10分

则得......................11分

综上可知，最小值为1，此时直线的方程为    ......................................12分

（2）方法3：当l的斜率不存在时，易得

...........................6分

当l斜率存在时，可设设，

由  得，...........................8分

...........................9分

依题意可知，则有直线TF：，又x=4，则

，...........................10分

则得

设，则有，

设

当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则...........................11分

综上可知，最小值为1，此时直线的方程为 ......................................12分

22.解（1）曲线C的普通方程为...............................................2分

因为 ,所以

所以直线l的直角坐标方程为...................................4分

（2）点P的坐标为（4,0）

设直线m的参数方程为（t为参数，为倾斜角）..........6分

联立直线m与曲线C的方程得：

设A、B对应的参数分别为，则

所以...................................................8分

.................................................................................10分

23.解：（1）当时，....................2分

由，得.故不等式的解集为.......................4分

（2）因为“，”为假命题，

所以“，”为真命题，..........................................................6分

因为

所以，..................................................................................................8分

则，所以，

即，解得，即的取值范围为......................................10分