黑龙江省大庆市2020届高三第三次高考模拟考试数学（文）试题
展开大庆市高三年级第三次教学质量检测试题
文科数学
2020.06
注意事项:
- 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
- 回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则
A． B． C． D．
2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为
A． B． C． D．
4. 设为三条不同的直线，其中在平面
内，则“”是“且”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知圆与抛物线
的准线相切，则的值为
A. B C. D.
6. 函数的单调递减区间是
A． B．
C． D．
7. 已知向量满足,则与的夹角为
- 30° B. 45° C. 60° D. 120°
8. 设，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
9. 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当他们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10. 已知,则的值为
A. B. C. D.
11. 已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为双曲线虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为
A． B． C． D．
12. 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立. 则下列关系成立的是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则___________.
14. 已知实数满足线性约束条件，则的最小值为______.
15．设是等比数列的前项的和，若,则________.
16．已知四边长均为的空间四边形的顶点都在同一个球面上，若，
平面平面，则该球的体积为 .
三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，
若，，.
（1）求证：;
（2）取的中点，
求证:平面;
（3）求多面体的体积.
18.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，记数列的前项和为，求数列的前
项和.
19.（本小题满分12分）
年，某省将实施新高考，年秋季入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各分，另外,考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物门科目中自选门参加考试（选），每科目满分分．
为了应对新高考，某高中从高一年级名学生（其中男生人，女生人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查．
（1）已知抽取的名学生中含女生人，求的值及抽取到的男生人数；
（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下面表格是根据调查结果得到的列联表，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
| 选择“物理” | 选择“历史” | 总计 |
男生 |
|
| |
女生 |
|
| |
总计 |
|
|
|
（3）在抽取到的名女生中，在（2）的条件下，按选择的科目进行分层抽样，抽出名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这名女生中再抽取人，求这人中选择“历史”的人数为人的概率．
参考数据：
（参考公式：，其中)
20.（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线的焦点．若过点的直线（斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点（在之间），
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求直线斜率的取值范围；
（3）若与面积之比为，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
（参考数值：，，， ）
请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
- (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）求的普通方程和的直角坐标方程;
（2）直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,
若,求直线的倾斜角.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若“，”为假命题，求的取值范围.
2020年大庆市高三第三次质量检测文科数学参考答案
一、选择题:ABAAC BCABD CD
13.1 14.1 15. 16.
17.解：(1)四边形是矩形，
，
又， .............2分
，，在平面内，. .............4分
(2) 连结交于点，连接, ...............6分
则是的中位线，，
在平面内，所以. .............8分
（3） ...............10分
. ...............12分
18（1）因为，①
当时，，② .............................2分
由①-②得，即， .......................................................4分
当时，，，
所以数列为等比数列，其首项为，公比为，
所以； ....................6分
（2）由（Ⅰ）得，，所以，
所以， ............................................8分
所以............10分
.....................12分
19.解:（1）由题意，根据分层抽样的方法，可得，解得，
所以男生人数为：人．，男生人数为：55人；....2分
（2）2×2列联表为：
| 选择”物理“ | 选择”历史“ | 总计 |
男生 | 45 | 10 | 55 |
女生 | 30 | 15 | 45 |
总计 | 75 | 25 | 100 |
...................4分
.
所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关． ..................6分
（3）选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，设为，2人选择历史，设为A，B， ..............8分
从中选取3人，共有20种选法，可表示为abc,abd, acd,
bcd,abA,abB,acA,acB,adA,adB,bcA,bcB,bdA,bdB,cdA,cdB,aAB,bAB,cAB,dAB.
............10分
其中有2人选择历史的有aAB,bAB,cAB,dAB 4种，
故这3人中有2人选择历史的概率为 ..........12分
20 解：（I）设椭圆的方程为，则①，
∵抛物线的焦点为（0， 1）， ................1分
∴ ②
由①②解得.
∴椭圆的标准方程为. ..........................2分
(II)如图，由题意知的斜率存在且不为零，设方程为 （#），
将①代入，整理，得，.......4分
由得 则 .....................6分
（3）方法1：
设、，则 令， 则，
由此可得 ，，.....，且 .......8分
,...............
.....
由得：，......................(*)
(*)代入得：...........
(*)代入得： ...........
由整理得 , ....................10分
即∵ ，
∴ ，解得 又∵，
∴，
∴OBE与OBF面积之比的取值范围是（， 1）. ..........12分
（3）方法2; 设、，则有
则，.....(**)......................8分
由解的
代入（**）得
..............10分
设=t，因为
则，所以，易知此函数为减函数
则.
∴OBE与OBF面积之比的取值范围是（， 1）...........12分
21.解：（1）当时，， ------------------------2分
所以，因为
所以切线方程为， 整理得： -----------------4分
（2），因为，所以（）恒成立
设，则 ---------6分
设则（）.
所以在上单调递增，又,
,所以存在使得，
当时，,即；当时，即.所以在上单调递减，上单调递增.所以 .----8分
因为
所以,------------10分
设，当时，，所以在上单调递增.则，即.所以
因为，所以，所以的最大值为2. ----------------------12分
22.解（1）曲线C的普通方程为...............................................2分
因为 ,所以
所以直线l的直角坐标方程为...................................4分
（2）点P的坐标为（4,0）
设直线m的参数方程为（t为参数，为倾斜角）..........6分
联立直线m与曲线C的方程得：
设A、B对应的参数分别为，则
所以...................................................8分
..............................................................................10分
23.解：（1）当时，....................2分
由，得.故不等式的解集为.......................4分
（2）因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，..........................................................6分
因为
所以，...............................................................................................8分
则，所以，
即，解得，即的取值范围为...............................10分
